The Institute of Mathematical Sciences

1. புள்ளியானது, பகுதியும் பருமனுமில்லாததேயாம்.

2. அகலமற்ற நீட்சியே கோடாம்.

3. கோட்டின் அந்தங்கள் புள்ளிகளேயாம்.

4. நேர் கோடென்பது, தன் அந்தங்களாகிய புள்ளிகளுக்கு நடுவில் வரையப்பட்டிருக்குங் குறுகிய வழியாம்.

5. பரப்பு என்பது அகலமும் நீளமுமாத்திரமுடையதாம்.

6. பரப்பின் அந்தங்கள் கோடுகளேயாம்.

7. எந்தப் பரப்பில் தெரிந்துகொண்ட ஏதாவது இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோடானது அப்பரப்பில் முழுவதும் பொருந்தியிருக்குமோ, அந்தப் பரப்பு சம பரப்பெனப்படும்.

8. ஒரு பரப்பில் இரண்டு கோடுகள் ஒரே நேர் கோடாகாமல் ஒன்றையொன்று சந்திக்கும்போது, இவைகளாலுண்டாகுவது சம பரப்புக் கோணமாம்.

9. இரண்டு நேர்கோடுகள் ஒரே நேர் கோடாகாமல், ஒன்றையொன்று சந்திக்கும்பொழுது, இவைகளாலுண்டாகுவது சம பரப்பு நேர் கோட்டுக் கோணமாம்.



கவனிப்பு. பலகோணங்கள் B என்னுமொரே புள்ளியிலிருந்தாலவைகளில் ஏதாவது ஒன்று மூன்று எழுத்துக்களால் விளக்கப்படும். கோணத்தின் உச்சியிலிருக்கு, அதாவது கோணத்தை உண்டுபண்ணும் நேர் கோடுகள் ஒன்றையொன்று சந்திக்கும் புள்ளியிலிருக்கும் எழுத்தானது, மற்றைய இரண்டு எழுத்துக்களுக்கும் நடுவில் வரவேண்டும்; மற்றைய இரண்டு எழுத்துக்களில், ஒன்று இந்நேர் கோடுகளில் ஒன்றின் மீதிலும், மற்றது மற்ற நேர் கோட்டில் மீதிலுமிருக்கும்; உதாரணமாக AB, CB என்னும் நேர் கோடுகளால் உண்டுபண்ணப்படுங் கோணமானது ABC, என்றாவது, CBA, என்றாவது சொல்லப்படும். AB, DB என்பவைகளாலுண்டாகுங் கோணத்தை ABD, என்றாவது, DBA என்றாவது சொல்லலாம். DB, CB என்பவைகளாலடங்கிய கோணம் DBC, என்றாவது CBD என்றாவது சொல்லப்படும். ஆயினும், ஒரு புள்ளியில் ஒரு கோணமாத்திரமிருக்குமாகில், அப்புள்ளியின் மீதிருக்கும் ஓரெழுத்தினாலும் விளக்கப்படும். உதாரணம்: E என்னும் கோணம்.
10. ஒரு நேர் கோடு மற்றொரு நேர் கோட்டில் நின்று உண்டாக்கும், அயல் கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமானால், இவைகளிலொவ்வென்றுஞ் செங்கோணமென்னப்படும். அப்படி ஒன்றின் மேல் நிற்கும் மற்ற நேர் கோடு, அதற்கு செங்குத்தென்று சொல்லப்படும்.


11. செங்கோணத்திலும் பெரிதானது விரிகோணமென்னப்படும்.


12. செங்கோணத்திலும் சிறிதானது கூர் கோணமென்னப்படும்.

13. ஒரு பொருளின் அந்தமே எல்லையாம்.

14. ஒரு எல்லை அல்லது பல எல்லைகளால் அடங்கியது வடிவமாம்.

15. சுற்று வரையென்னும் ஒரு கோட்டினாலடங்கியதும், அந்த வடிவத்திற்குள்ளாக விருக்கும் ஓர் புள்ளியிலிருந்து சுற்று வரைமட்டும் வரையப்படும் நேர் கோடுகளெல்லாம் ஒன்றுக்கொண்று சமமாயிருக்கப் பெற்றதுமான சம பரப்பு வடிவமே விருத்தமென்னப்படும்.

16. மேற்சொல்லிய புள்ளி விருத்த மத்தியெனப்படும்.

17. மத்திப் புள்ளியை ஊடுருவவரையப்பட்டு, இரு புரத்திலும் சுற்றுவரையில் முடிவுபெறும் நேர்கோடானது விருத்தத்தின் விட்டமெனப்படும்.

18. ஒரு விட்டத்தினாலும் அதினால் வெட்டப்படுஞ் சுற்றுவரையின் பாகத்தினாலுமடங்கிய வடிவமே அர்த்த விருத்தமாம்.

19. விருத்தத்தின் மத்தியே அர்த்த விருத்தத்தின் மத்தியுமாம்.

20. நேர்கோடுகளாலடங்கிய வடிவங்கள் நேர்கோட்டு வடிவங்களெனப்படும்.

21. மூன்று நேர் கோடுகளாலடங்கிய வடிவங்கள் முக்கோணங்களென்னப்படும்.

22. நாலு நேர் கோடுகளாலடங்கிய வடிவங்கள் சதுரங்களென்னப்படும்.

23. நாலுக்கதிகமான நேர் கோடுகளாலடங்கிய வடிவங்கள் பல பக்க வடிவங்களென்னப்படும்.

24. முக்கோணங்களில், மூன்று சம பக்கங்களையுடையது, சம பக்க முக்கோணமென்னப்படும்.

25. இரண்டு பக்கங்களைச் சமமாயுடையது, துவி சம பக்க முக்கோணமாம்.

26. சமமல்லாத மூன்று பக்கங்களையுடையது, நிற்சமபக்க முக்கோணமாம்.

27. ஓர் செங்கோணத்தையுடைய முக்கோணஞ் செங்கோண முக்கோணமென்னப்படும்.

28. ஓர் விரிகோணத்தையுடையது விரிகோண முக்கோணமென்னப்படும்

29. மூன்று கூர் கோணங்களையுடையது கூர் கோண முக்கோணமென்னப்படும்

30. சதுரங்கள் அல்லது நாற்கோட்டு வடிவங்களில், எல்லாப் பக்கங்களுஞ் சம பக்கங்களாயும், எல்லாக் கோணங்களுஞ் செங்கோணங்களாயுமுள்ளது, சற் சதுரமென்னப்படும்.

31. தீர்க்க சதுரமென்பது, தன் கோணங்களெல்லாஞ் செங்கோணகளாயினும் பக்கங்களெல்லாஞ் சமமல்லாதவைகளாயிருக்கப்பட்டதேயாம்.

32. பக்கங்களெல்லஞ் சமமாயினுங், கோணங்களெல்லாஞ் செங்கோணங்களல்லாதவைகளாய் இருக்கப்பட்டது, சாய்ந்த சற் சதுரமாம்.

33. எதிர்த்த பக்கங்களொன்றுக்கொன்று சமமாயினும், தன் பக்கங்களெல்லாஞ் சமமற்றவைகளாயுங் கோணங்கள் செங்கோணங்களல்லாதவைகளாயுமிருக்கப்பட்டதே சாய்ந்த தீர்க்க சதுரமென்னப்படும்.

34. இவைகளைத் தவிர, மற்ற நாற்கோட்டு வடிவங்களெல்லாம் விசம சதுரங்களென்னப்படும்.

35. ஒரே பரப்பிலிருந்து இருவழியினுமெவ்வளவு தூரம் நீட்டப்பட்ட போதிலுஞ் சந்திக்காத நேர் கோடுகள், சமதூர் நேர் கோடுகளென்னப்படும்.

A
எதிர்த்த பக்கங்களொன்றுக்கொன்று சம தூரமாயிருக்கப்பட்ட நாற்கோட்டு வடிவம் சமதூர நேர் கோட்டு வடிவமென்னப்படும்; அதிலெதிர்த்த இரண்டு கோணங்களை யிணைக்கும் நேர் கோடு, அதன் மூலைவிட்டமெனப்படும்.

1. யாதொரு புள்ளியிலிருந்து, வேறு யாதொரு புள்ளிவரைக்கும், ஒரு நேர் கோடானது கிழிக்கப்படலாம்.
2. முடிவுள்ள ஓர் நேர் கோடானது, நேர் கோடாக இஷ்டமான தூரம் வரைக்கும் நீட்டப்படலாம்.
3. ஒரு மையத்திலிருந்து அதற் கெவ்வளவு தூரத்திலாவது, ஓர் விருத்தம் வரையப்படலாம்.

1. ஒரே பொருளுக்குத் தனித்தனியே சமமானவைகளொன்றுக்கொன்று சமம்.
2. சமமானவைகளோடு சமமானவைகளைக் கூட்டினால், அந்த மொத்தங்கள் சமமாயிருக்கும்.
3. சமமானவைகளிலிருந்து சமமானவைகளை நீக்கினால், மீதிகள் சமமாயிருக்கும்.
4. சமமல்லாதவைகளோடே சமமானவைகளைக் கூட்டினால், மொத்தங்கள் சமமல்லாதவைகளாயிருக்கும்.
5. சமமல்லாதவைகளிலிருந்து சமமானவைகளை நீக்கினால், மீதிகள் சமமல்லாதவைகளாயிருக்கும்.
6. ஒரே பொருளுக்கிரட்டிப்பான பொருட்களொன்றுக்கொன்று சமம்.
7. ஒரே பொருளுக்குப் பாதியானவைகளொன்றுக்கொன்று சமம்.
8. ஒன்றோடொன்று பொருந்து வடிவங்கள் (அதாவது ஒரே இடத்தை அடக்கும் வடிவங்கள்) ஒன்றுக்கொன்று சமம்.
9. முழுமை, அதன் பாகத்திலும் பெரிது.
10. இரண்டு நேர்கோடுகள் ஓரிடத்தை அடக்கமாட்டாது.
11. செங்கோணங்களெல்லாமொன்றுக்கொன்று சமம்.
12. ஒரு நேர்கோடு மற்ற இரண்டு நேர்கோடுகளைச் சந்திக்கிறதினால், அதினொரே பக்கத்திலுண்டாகும் உட்கோணங்களிரண்டுங் கூடி இரண்டு செங்கோணங்களிலுஞ் சிறிதானால், அந்தரண்டு நேர்கோடுகளும் வேண்டிய அளவு நீட்டப்பட, மேற்சொல்லிய இரண்டு செங்கோணங்களிலுஞ் சிறிய உட்கோணங்களையுடைய பக்கத்திற் சந்திக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட மட்டுள்ள ஓர் நேர்கோட்டின் மீது ஓர் சமபக்க முக்கோணத்தை வரைய. AB. கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு. ABயின் மீது ஓர்சமபக்க முக்கோணத்தை வரைய வேண்டும். A. என்னும் புள்ளியை மத்தியாக வைத்துக்கொண்டு AB தூரமாக BCD என்னும் விருத்தத்தை வரை; (ஈகை 8.) B. என்னும் புள்ளியை மத்தியாக வைத்துக்கொண்டு BA தூரமாக ACE என்னும் விருத்தத்தை வரை; விருத்தங்களொன்றையொன்றறுக்கிற விடமாகிய C என்னும் புள்ளியிலிருந்து, A, B என்னும் புள்ளிகளுக்கு CA, CB என்னும் நேர்கோடுகளைவரை; (ஈகை 1) அப்போது ABC ஒரு சமபக்க முக்கோணமாயிருக்கும். எப்படியெனில், BCD என்னும் விருத்தத்திற்கு A என்னும் புள்ளி மத்தியானதால்; AB, ACக்குச் சமம்; (இல. 15.) மேலும், ACE என்னும் விருத்தத்திற்கு B என்னும் புள்ளி மத்தியானதால்; BC, BAக்குச் சமம். (இல. 15) ஆனால் CA, ABக்குச் சமமென்று ரூபித்தோம்; ஆகையால் CA, CB ஒவ்வொன்றுந் தனித்தனியே ABக்குச் சமம்; ஆனால் ஒரே பொருளுக்குத் தனித்தனியே சமமான பொருள்களொன்றுக்கொன்று சமம்; ஆகையால் CA, CBக்குச் சமம்; (பி. பி. 1.) ஆனதால் CA, AB, BC என்பவைகளொன்றுக்கொன்று சமம். ஆகையால் ABC, ஒரு சமபக்க முக்கோணம். அது கொடுக்கப்பட்ட AB என்னும் நேர்கோட்டின் மீது வரையப்பட்டிருக்கிறது. இதுவே செய்யவேண்டியது.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து, கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டுக்குச் சமமாக, ஒருநேர்கோட்டை வரையும் வகை. A கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி; BC கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு; A யென்ற புள்ளியிலிருந்து BC என்ற நேர்கோட்டுக்குச் சமமாக ஒரு நேர்கோட்டை வரைய வேண்டும். A என்ற புள்ளியிலிருந்து, B என்ற புள்ளிவரைக்கும் ஒரு நேர்கோட்டை வரை. (ஈகை 1.) ABயின் மேல் DAB என்ற சமபக்கமுக்கோணத்தை எழுப்பு. (சூத்.1) DA, DB யென்ற நேர்கோடுகளை E, F யென்ற புள்ளிகள் வரை நீட்டு. (ஈகை 2) B என்னும் புள்ளி மத்தியாக, BC தூரமாய், CGH என்ற விருத்தத்தை வரை. (ஈகை 3.) D என்னும் புள்ளி மத்தியாக, DG தூரமாய், GKL என்ற விருத்தத்தை வரை. அப்போது AL என்ற நேர்கோடு BCக்குச் சமமாயிருக்கும். எப்படியெனில், CGH என்ற விருத்தத்திற்கு B என்ற புள்ளி மத்தி, ஆகையால் BC, BGக்குச் சமம். (இல. 15) மேலும், GKL என்ற விருத்தத்திற்கு D மத்தி, ஆகையால் DL, DGக்குச் சமம்; இவைகளின் பாகங்களாகிய DA, DB ஒன்றுக்கொன்று சமம்; (சூத். 1) ஆகையால் மீதியாகிய AL, BGக்குச் சமம்; (பி.பி 3) ஆனால் BC, BGக்குச் சமமென்று ரூபித்தோம்; ஆகையால் AL, BC ஒவ்வொன்றுந் தனித்தனியே BGக்குச் சமம். ஒரே பொருளுக்குத் தனித்தனியே சமமான பொருள்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமம்; ஆகையால் AL, BCக்குச் சமம். (பி.பி. 1) ஆனதால் AL என்ற நேர்கோட்டை, கொடுக்கப்பட்ட BC என்ற நேர்கோட்டுக்குச் சமமாகக், கொடுக்கப்பட்ட A யென்ற புள்ளியிலிருந்து வரைந்தாயிற்று. இ. செ.

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகளில் பெரிதிலிருந்து சிறிதுக்குச் சமமாக, ஓர் பாகத்தை வெட்டும் வகை. AB, C கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகள். அவைகளில் AB பெரிது. ABயிலிருந்து சிறிதாகிய Cக்குச் சமமாக, ஒருபாகத்தை வெட்டவேண்டும். A என்னும் புள்ளியிலிருந்து, Cக்குச் சமமாக, AD என்னும் நேர்கோட்டை வரை. (சூத். 2.) A என்னும் புள்ளியை மத்தியாக வைத்துக்கொண்டு, AD தூரமாக DEF என்னும் விருத்தத்தை வரை. (ஈகை. 3) அப்போது AE, Cக்குச் சமமாயிருக்கும். எப்படியெனில், DEF என்னும் விருத்தத்திற்கு A மத்தி, ஆகையால் AE, ADக்குச் சமம்; (இஅல. 15.) ஆனால் C என்னும் நேர்கோடு ADக்குச் சமம்; (செய்கை.) ஆகையால் AE, C ஒவ்வொன்றும் தனித்தனியே ADக்குச் சமம்; ஆகையால் AE என்னும் நேர்கோடு, Cக்குச் சமம்; (பி.பி. 1.) ஆனதால் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகளில், பெரிதாகிய ABயிலிருந்து, சிறிதாகிய Cக்குச் சமமாக, AE என்னும் பாகம் வெட்டப்பட்டிருக்கிறது. இ. செ.

இரண்டு முக்கோணங்களில் ஒன்றினிரண்டு பக்கங்கள் மற்றதினிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமமாயும், ஒன்றினிரண்டு பக்கங்களாலடங்கிய கோணம் மற்றதினிரண்டு பக்கங்களாலடங்கிய கோணத்துக்குச் சமமாயும் இருந்தால்; அவைகளின் மூன்றாம் பக்கங்கள் அல்லது பாதவரிகள் சமமாயும், இரண்டு முக்கோணங்களும் சமமாயும், அவைகளின் மீதிக்கோணங்கள் அதாவது சமபக்கங்களுக்கு எதிர்த்த கோணங்கள் ஒன்றுக்கொண்ரு முறையே சமமாயுமிருக்கும். ABC, DEF இரண்டு முக்கோணங்களாயும்; அவைகளில், AB, AC என்னும் ஒன்றினிரண்டு பக்கங்கள், DE, DF என்னும் மற்றதினிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமமாயும், அதாவது, AB, DEக்கும்; AC, DFக்குஞ் சமமாயும்; BAC என்னுங் கோணம் EDF என்னும் கோணத்துக்குச் சமமாயுமிருந்தால்; அப்போது BC என்னும் பாதவரி, EF என்னும் பாதவரிக்கும்; ABC என்னும் முக்கோணம், DEF என்னுமுக்கோணத்துக்கும்; சமபக்கங்களுக்கெதிர்த்த மற்றக்கோணங்களுமுறையே, அதாவது, ABC என்னுங் கோணம், DEF என்னுங் கோணத்துக்கும், ACB என்னுங் கோணம், DFE என்னுங் கோணத்துக்குஞ் சமமாயிருக்கும். A என்னும் புள்ளி, D என்னும் புள்ளி மேலும், AB என்னும் நேர்கோடு, DE என்னும் நேர்கோட்டின் மேலும் விழ, ABC என்னுமுக்கோணத்தை, DEF என்னுமுக்கோணத்தின் மேல் வைத்தால், AB, DEக்குச் சமமானதால், B என்னும் புள்ளி, E என்னும் புள்ளியைப் பொருந்தும்; AB, Dயைப் பொருந்தியும், BAC என்னுங் கோணம், EDF என்னுங் கோணத்துக்குச் சமமாயுமிருப்பதால், AC என்னும் நேர்கோடு, DF மேல் விழும்; AC, DFக்குச் சமமானதால், C என்னும் புள்ளி, F என்னும் புள்ளியைப் பொருந்தும்; ஆனால், B என்னும் புள்ளி, E என்னும் புள்ளியைப்பொருந்துகிறது; ஆகையால், BC என்னும் பாதவரி, EF என்னும் பாதவரியைப் பொருந்தும்; ஏனெனில், B என்னும் புள்ளி, E என்னும் புள்ளியையும், C, Fஐயும் பொருந்தியிருக்க, BC என்னும் பாதவரி, EF என்னும் பாதவரியைப் பொருந்தாவிட்டால், இரண்டு நேர்கோடுகள் ஓரிடத்தையடக்கியிருக்கு, இது கூடாத காரியம். (பி. பி. 10.) ஆகையால், BC என்னும் பாதவரி, EF என்னும் பாதவரியைப் பொருந்தி, அதற்குச் சமமாயிருக்கும்; ஆனதால், ABC என்னுமுக்கோணம், DEF என்னுமுக்கோணத்தைப் பொருந்தி அதற்குச் சமமாயிருக்கும்; ஒன்றின் மற்றக்கோணங்கள், மற்றதின் மற்றக்கோணங்களைப் பொருந்தி, அதற்குச் சமமாயிருக்கும்; அதாவது, ABC என்னுங்கோணம், DEF என்னுங்கோணத்திற்கும், ACB என்னுங்கோணம், DFE என்னுங்கோணத்திற்குஞ் சமமாயிருக்கும். ஆகையால், இரண்டு முக்கோணங்களில் ஒன்றினிரண்டு பக்கங்கள் &c இதுவே ரூபிக்கவேண்டியது.

துவிசமபக்கமுக்கோணத்தின் பாதவரியையடுத்த கோணங்களொன்றுக்கொன்று சமம். சமபக்கங்கள் நீட்டப்பட்டால், பாதவரிக்கு அப்புறத்திலுண்டாகுங் கோணங்கள் சமமாயிருக்கும். ABC துவிசமபக்கமுக்கோணமாயும், அதில் AB, ACக்குச் சமமாயும் AB, AC என்னுஞ் சமபக்கங்கள், D, E என்னும் புள்ளிகள் வரை நீட்டப்பட்டுமிருந்தால்: அப்போது ABC என்னுங் கோணம், ACB என்னுங் கோணத்திற்கும்; DBC என்னுங் கோணம் ECB என்னுங்கோணத்திற்குஞ் சமமாயிருக்கும். BD என்னுங் கோட்டில் F என்னும் புள்ளியைத் தெரிந்து, AE என்னும் பெரிதிலிருந்து சிறிதாகிய AFக்குச் சமமாக AG என்னும் பாகத்தை வெட்டி, (சூத்திரம் 3.) FCயையும், GBயையும் இணை. AF, AGக்குச் சமம். (செய்கை) AB, ACக்குச் சமம்; (சரத்.) ஆகையால் FA, AC என்னுமிரண்டு பக்கங்கள், GA, AB என்னுமிரண்டிற்கு முறையேசமம். FAG என்னுங்கோணம், AFC, AGB என்னுமிரண்டு முக்கோணங்களுக்கும் பொது; ஆகையால் FC என்னும் பாதவரி, GB என்னும் பாதவரிக்குச் சமம். (சூத். 4.) AFC என்னுமுக்கோணம், AGB என்னுமுக்கோணத்திற்குச் சமம்; அப்படியே சமபக்கங்களுக்கு எதிர்த்த கோணங்களாகிய, ஒன்றின் மீதிக்கோணங்கள் மற்றதின் மீதிக்கோணங்களுக்கு முறையே சமம்; அவையாவன, ACF என்னுங்கோணம், ABG என்னுங்கோணத்திற்கும், AFC என்னுங்கோணம் AGB என்னுங்கோணத்திற்குஞ் சமம். மேலும் AF, AGக்குச் சமமாயும், அவைகளின் பாகங்களாகிய AB, AC ஒன்றுக்கொன்று சமமாயும் இருப்பதால்; மீதி BF, CGக்குச் சமம்; (பி.பி 8.) FC, GBக்குச் சமமென்று ரூபித்தோம்; ஆகையால் BF, GB என்னுமிரண்டு பக்கங்கள் CG, GB என்னுமிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமம்; BFC என்னுங்கோணம், CGB என்னுங்கோணத்திற்குச் சமமென்று ரூபித்தும், BC என்னும் பாதவரி, BFC, CGB என்னுமிரண்டு முக்கோணங்களுக்குப் பொதுவாயுமிருப்பதால், மேற்சொல்லிய முக்கோணங்கள் சமம். (சூத். 4.) சமபக்கங்களுக்குக்கெதிர்த்த கோணங்களாகிய, அவைகளின் மீதிக்கோணங்களுமொன்றுக்கொன்று முறையே சமம்; ஆகையால் FBC என்னுங்கோணம், GCB என்னுங்கோணத்திற்கும், BCF என்னுங்கோணம், CBG என்னுங்கோணத்திற்குஞ் சமம். ஆனால் ABG என்னுமுழுக்கோணம், ACF என்னுமுழுக்கோணத்திற்கும், அவைகளின் பாகங்கள் CBG என்னுங் கோணம், BCF என்னும் கோணத்திற்குஞ் சமமென்று ரூபித்திருப்பதால்; மீதி ABC என்னுங் கோணம், ACB என்னுங்கோணத்திற்குச் சமம். இவைகள் ABC என்னும் முக்கோணத்தின் பாதவரியை யடுத்தகோணங்கள்; FBC என்னுங் கோணம், GCB என்னுங் கோணத்திற்குச் சமமென்று ரூபித்தாயிற்று. இவைகள் பாதவரிக்கு அப்புறத்திலுள்ள கோணங்கள். ஆகையால், துவிசமபக்க முக்கோணத்தின் பாதவரியயடுத்த &c. பலித. சமபக்கமான ஒவ்வொரு முக்கோணமும், சமகோண முக்கோணமாமென்று இதினால் விளங்கும்.

ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமானால் அச்சமகோணங்குக்கெதிர்த்த பக்கங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாயிருக்கும். ABC ஒரு முக்கோணமாயும்; அதில் ABC என்னுங் கோணம், ACB என்னுங் கோணத்துக்குச் சமமாயுமிருந்தால்; அப்போது AB என்னும்பக்கம், AC என்னும் பக்கத்துக்குச் சமமாயிருக்கும். எப்படியெனில், AB, ACக்குச் சமமாயிராவிட்டால், இரண்டிலொன்று பெரிதாயிருக்கவேண்டும். AB, ACயைப் பார்க்கிலும் பெரியதாயிருக்கட்டும்; BAயிலிருந்து B என்னும் புள்ளிமுதல், CAக்குச் சமமாக BD என்னும் பாகத்தை வெட்டு, (சூ. 8) D, C என்னும் புள்ளிகளை இணை. (ஈகை 1.) அப்பொழுது , DBC, ACB என்னும் இரண்டு முக்கோணங்களில்; DB, ACக்குச் சமமாயும், BC இரண்டு முக்கோணங்களுக்கும் பொதுவாயுமிருப்பதால், DB, BC என்னுமிரண்டு பக்கங்கள் AC, CB என்னுமிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமம். மேலும், DBC என்னுங் கோணம், ACB என்னுங் கோணத்துக்குச் சமம். (சாத்தியம்) ஆகையினாலே, DC என்னும் பாதவரி, AB என்ற பாதவரிக்குச் சமம் (சூ. 4.) அப்படியே DBC என்ற முக்கோணம், ACB என்ற முக்கோணத்துக்குச் சம. இவ்வாறு சிறிது பெரிதுக்குச் சமமென்றால் புத்தியீனம். ஆகையால் AB, ACக்குச் சமமல்லாததல்ல, அதாவது AB, ACக்குச் சமம். ஆனதால் ஒரு முக்கோணத்தி &c. இ. ரூ. பலிதம். சமகோணமுக்கோணம் ஒவ்வொன்றும், சமபக்கமுக்கோணமாமென்பது இதினால் விளங்கும்.

இரண்டு முக்கோணங்களில், ஒன்றினிரண்டு பக்கங்கள், மற்றதினிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமமாயும், அப்படியே அவைகளின் அடிவாரங்களும் சமமாயுமிருந்தால், ஒன்றினிரண்டு பக்கங்களாலடங்கிய கோணம், மற்றதில் அவைகளுக்குச் சமமான இரண்டு பக்கங்களாலடங்கிய கோணத்துக்குச் சமமாயிருக்கும். ஒரே பாதவரியிலும், அதின் ஒரே பக்கத்திலும், பாதவரியின் ஒவ்வொரு முனையிலும் முடிகிற பக்கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாயிருக்கப்பெற்ற இரண்டு முக்கோணங்களிருக்கக்கூடாது. கூடுமானால், AB என்னும் ஒரே பாதவரியிலும், அதின் ஒரே பக்கத்திலும்; A என்னுமுனையில் முடிகிற CA, DA என்ற பக்கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாயும்; அப்படியே B என்னு முனையில் முடிகிற CB, DB என்னும் பக்கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாயுமிருக்கப்பெற்ற, ACB, ADB என்னுமிரண்டு முக்கோணங்களெழுப்பப்பட்டிருக்கட்டும். C, D என்னும் புள்ளிகளை இணை. முதலாவது. ஒவ்வொரு முக்கோணத்தினுச்சியும் மற்ற முக்கொணத்துக்கு வெளியே யிருக்கையில். ACD என்னுமுக்கோணத்தில், AC, ADக்குச் சமம், ஆகையால் ACD என்னும் கோணம், ADC என்னும் கோணத்துக்கு சமம்; (சூ. 5) ஆனால் ACD என்னும் கோணம், BCD என்னும் கோணத்திலும் பெரிது; (பி. பி. 9) ஆகையால் ADC என்னுங் கோணமும், BCD என்னும் கோணத்திலும் பெரிது. அப்படியானால் BDC என்னுங்கோணம், BCD என்னுங்கோணஹ்த்திலும் பெரிது. மேலும், BCD என்னுமுக்கோணத்தில், BC, BCக்குச் சமம். (சாத்தியம்) ஆகையால், BDC என்னுங் கோணம், BCD என்னுங்கோணத்திலும் மிகப்பெரிதென்று ரூபிக்கப்பட்டது. ஆகையால் BDC என்னும் கோணம், BCD என்னுங் கோணத்திற்குச் சமமாயும், பெரிதாயுமிருக்கிறது; அது அசாத்தியம் இரண்டாவது. ADB என்னு முக்கோணத்தின் D என்னும் உச்சி ACD என்னும் முக்கோணத்திற்குள்ளிருக்கட்டும். AC, AD என்னும் பக்கங்களை E, F வரையும் நீட்டு. ACD என்னுமுக்கோணத்தில் AC, ADக்குச் சமம். ஆகையால் CD, என்னும் பாதவரிக்கு அப்புறத்திலுள்ள ECD, EDC என்னுங் கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமம்; (சூ. 5) ஆனால், ECD என்னுங்கோணம், BCD என்னுங் கோணத்திலும் பெரிது (பி. பி. 9) ஆகையால் FDC என்னுங்கோணமும் BCD என்னுங் கோணத்திலும்பெரிது; அப்படியானால் BDC என்னுங்கோணம் BCD என்னுங்கோணத்திலும் மிகப்பெரிதாயிருக்கவேண்டும்; மேலும் BCD என்னும் முக்கோணத்தில் BC, BDக்குச் சமம். ஆகையால் BDC என்னுங் கோணம் BCD என்னுங்கோணத்துக்குச் சமம். (சூத். 5) ஆனால் BDC என்னுங்கோணம் BCD என்னுங் கோணத்திலுமிகப்பெரிதென்று ரூபிக்கப்பட்டது. ஆகையால் BDC என்னுங்கோணம் BCD என்னுங் கோணத்துக்குச் சமமாயும் பெரிதாயுமிருக்கிறது. அது அசாத்தியம். மூன்றாவது. ஒரு முக்கோணத்தினுச்சி மற்றதின் ஒரு பக்கத்திலிருக்கையில், அதற்கு ரூபகாரம் அவசியமில்லை. ஆகையால் ஒரே பாதவரியிலும். &c. இ. ரூ.

இரண்டு முக்கோணங்களில், ஒன்றினிரண்டு பக்கங்கள், மற்றதினிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமமாயும், அப்படியே அவைகளின் அடிவாரங்களும் சமமாயுமிருந்தால், ஒன்றினிரண்டு பக்கங்களாலடங்கிய கோணம், மற்றதில் அவைகளுக்குச் சமமான இரண்டு பக்கங்களாலடங்கிய கோணத்துக்குச் சமமாயிருக்கும். ABC, DEF இரண்டு முக்கோணங்களாயும், அவைகளில், AB, AC என்னுமிரண்டு பக்கங்கள் DE, DF என்னுமிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமமாயும், அதாவது AB, DEக்கும் AC, DFக்கும் சமமாயும்; அப்படியே BC என்னும்பாதவரி EF என்னும் பாதவரிக்குச் சமமாயுமிருந்தால், அப்போது BAC என்னுங்கோணம் EDF என்னுங் கோணத்திற்குச் சமமாயிருக்கும். எப்படியெனில் B என்னுமுனை E என்னுமுனையிலும், BC என்னும் நேர்கோடு EF என்னும் நேர்கோட்டிலுமிருக்கத்தக்கதாக, ABC என்னு முக்கோணத்தை DEF என்னுமுக்கோணத்தின்மேல் வைத்தால், BC, EFக்குச் சமமாகையால் - (சாத்தியம்) C என்னும் புள்ளி D என்னும் புள்ளியைப் பொருந்தும். ஆகையால் BC, EFஐப் பொருந்துவதால், BA, AC என்ற பக்கங்கள் EF, DF என்னும் பக்கங்களைப் பொருந்தும். ஏனெனில், BC என்னும் பாதவரி, EF என்னும் பாதவரியைப் பொருந்தியும், BA, AC என்னும் பக்கங்கள் ED, DF என்னும் பக்கங்களைப் பொருந்தாமல், EG, GF என்றவைகளைப்போல வேறு விதமாயுமிருந்தால்; அப்போது ஒரே பாதவரியிலும் அதின் ஒரே பக்கத்திலும், பாதவரியின் ஒவ்வொரு முனையிலுமுடிகிற இரண்டு பக்கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாயிருக்கப்பெற்ற இரண்டு முக்கோணங்களிருக்கும்; ஆனால், அது அசாத்தியம். (சூ. 7) ஆகையால் BC என்னும் பாதவரி EF என்னும் பாதவரியை பொருந்தினால், BA, AC என்னும் பக்கங்கள் ED, DF என்னும் பக்கங்களை எவ்விதத்திலும் பொருந்தவே வேண்டும்; ஆகையால் BAC என்னுங்கோணமும் EDF என்னுங் கோணத்தோடு பொருந்தி அதற்குச் சமமாயிருக்கிறது. (பி.பி. 8.) ஆகையால், இரண்டு முக்கோணங்களில் &c. இ. ரூ.

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டுக் கோணத்தை இருசமகோணங்களாகப் பிரிக்கும் வகை. BAC கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டுக் கோணம். அதை இருசமகோணங்களாகப் பிரிக்கவேண்டும். ABயில் D என்னும் புள்ளியையெடுத்து, CAயிலிருந்து, ADக்குச் சமமாக AE என்னும் பாகத்தை வெட்டி, (சூ. 8) D, E என்னும் புள்ளிகளை இணை. DE என்னும் நேர்கோட்டில், A க்குத் தூரமான பக்கத்தில், DEF என்னுஞ் சமபக்கமுக்கோணத்தை வரை; (சூ. 1) A, F என்னும் புள்ளிகளையிணை. அப்போது AF என்னும் நேர்கோடு, BAC என்னுங் கோணத்தை இருசமகோணங்களாகப் பிரிக்கும். எப்படியெனில்; AD, AEக்குச் சமமாயும், (செய்கை.) AF என்னும் பக்கம் DAF, EAF என்னுமிரண்டு முக்கோணங்களுக்குப் பொதுவாயுமிருப்பதால்; DA, AF என்னுமிரண்டு பக்கங்கள் EA, AF என்னுமிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமம்; DF என்னும் பாதவரி, EF என்னும் பாதவரிக்குச் சமம்: செய்கை. ஆகையால் DAF என்னுங் கோணம், EAF என்னுங் கோணத்திற்குச் சமம். (சூத். 8) ஆனதால் BAC என்னுங் கோணம், AF என்னுங் நேர்கோட்டினாலிரு சமகோணங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டிருக்கிறது. இ. செ

கொடுக்கப்பட்டுள்ள நேர்கோட்டை இருசமபாகங்களாகப் பிரிக்கும் வகை. AB கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு; ABயை இரு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கவேண்டும். ABயின் மேல், ABC என்னுஞ் சமபக்க முக்கோணத்தை வரை; (சூத். 1.) ACB என்னுங் கோணத்தை, ABயை Dயில் சந்திக்கும் CD என்னும் நேர்கோட்டினால் இருசமகோணங்களாகப்பிரி. (சூத். 9) அப்போது AB, D என்னும் புள்ளியிலிரு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டிருக்கும். எப்படியெனில்; AC, CBக்குச் சமம், (செய்கை.) CD என்னும் பக்கம் ACD, BCD என்னுமிரண்டு முக்கோணங்களுக்கும் பொது; ஆகையால் AC, CD என்னுமிரண்டு பக்கங்கள் BC, CD என்னுமிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமம்; ACD என்னுங்கோணம், BCDயென்னுங்கோணத்திற்குச் சமம்; (செய்கை.) ஆகையால் AD என்னும் பாதவரி, DB என்னும் பாதவரிக்குச் சமம். (சூ. 4.) ஆனதால் AB என்னும் நேர்கோடு, D என்னும் புள்ளியிலிரு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டிருக்கிறது. இ. செ.

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டுக்குச் செங்குத்தாக, அதில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து ஒரு நேர்கோட்டை வரையும் வகை. AB கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு, C அதிற் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி. AB என்னும் நேர்கோட்டுக்குச் செங்குத்தாக, C என்னும் புள்ளியிலிருந்து ஒரு நேர்கோட்டை வரையவேண்டும். ACயில் D என்னும் புள்ளியைத்தெரிந்து, CDக்குச் சமமாக CEயை வெட்டு; (சூத். 8) DE மேல் DEF என்னுஞ் சமபக்கமுக்கோணத்தை வரைந்து, (சூத். 1) C, F என்னும் புள்ளிகையிணை. அப்போது C என்னும் புள்ளியிலிருந்து CF, ABக்குச் செங்குத்தாயிருக்கும். எப்படியெனில்; DC, CEக்குச் சமமாயும், FC என்னும் பக்கம், DCF, ECF என்னுமிரண்டு முக்கோணங்களுக்கும் பொதுவாயுமிருப்பதால்; DC, CF என்னுமிரண்டு பக்கங்கள், EC, CF என்னுமிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமம்; DF என்னும் பாதவரி, EF என்னும் பாதவரிக்குச் சமம். (செய்கை.) ஆகையால், DCF என்னுங்கோணம் ECF என்னுங் கோணத்திற்கு சமம்; (சுத். 8.) இவைகளிரண்டும் அயல்கோணங்கள். ஆனால், ஒரு நேர்கோடு மற்றொரு நேர்கோட்டில் நின்று உண்டாக்கும் அயல்கோணங்களொன்றுக்கொன்று சமமானால் அவைகளொவ்வொன்றுஞ் செங்கோணம் எனப்படும்: (இல. 10) ஆகையால், DCF, ECF ஒவ்வொன்றுஞ் செங்கோணமாம். ஆனதால், AB என்னுங் கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டில் C என்னுங் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து, ABக்குச் செங்குத்தாக FC வரையப்பட்டிருக்கிறது. இ. செ. பலிதம். இரண்டு நேர்கோடுகளுக்கு பொதுவான பாகமிருக்கக்கூடாதென்று இச்சூத்திரத்தைக்கொண்டு ரூபிக்கலாம். கூடுமானால், ABC, ABD என்னும் இரண்டு நேர்கோடுகளுக்கும், AB பொதுவான பாகமென்று வைத்துக்கொள்வோம். ABக்குச் செங்குத்தாக, B என்னும் புள்ளியிலிருந்து BEயை வரை; (சூத். 11) ABC ஒரு நேர்கோடாயிருப்பதால், ABE என்னுங்கோணம், EBC என்னுங்கோணத்துக்குச் சமம். (இல. 10.) அவ்வாறே, ABD ஒரு நேர்கோடாயிருப்பதால், ABE என்னுங்கோணம், EBD என்னுங்கோணத்திற்குச் சமம்; ஆனால், ABE என்னுங்கோணம், EBC என்னுங் கோணத்துக்குச் சமம், ஆகையால் EBC என்னுங்கோணம், EBC என்னுங்கோணத்துக்குச் சமம்; (பி. பி. 1) அதாவது, சிறிய கோணம், பெரிதுக்குச் சமம், அது அசாத்தியம். ஆகையால் இரண்டு நேர்கோடுகளுக்கு பொதுவான பாகமிருக்கக் கூடாது.

கொடுக்கப்பட்ட மட்டற்ற நேர்கோட்டுக்குச் செங்குத்தாக, அதன் வெளிப்புறத்தில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து, ஒரு நேர்கோட்டை வரையும் வகை. AB கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு. அதை இருபக்கமும் எவ்வளவு தூரமும் நீட்டிக்கொள்ளலாம். C, அதற்கு வெளிப்புறத்திற் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி. ABக்குச் செங்குத்தாய், C என்னும் புள்ளியிலிருந்து ஒரு நேர்கோட்டை வரைய வேண்டும். ABயின் மறுபுறத்தில் D என்னும் புள்ளியைக் குறித்துக்கொண்டு, AB என்னும் வரியை F, G என்னும் புள்ளிகளில் சந்திக்கத்தக்கதாய், C என்னும் புள்ளி மத்தியாக CD தூரத்தில், EGF என்னும் விருத்தத்தை வரை: (ஈகை 8.) FGயை, H என்னும் புள்ளியில் இரு சமபாகங்களாகப்பிரி, (சூ. 10.) C, H என்னும் புள்ளிகளை இணை. அப்போது, C என்னும் புள்ளியிலிருந்து வரையப்பட்ட CH என்னும் நேர்கோடு, ABக்குச் செங்குத்தாயிருக்கும். CF, CG புள்ளிகளை இணை. FH, HGக்குச் சமம்; (செய்கை.) HCயானது, FHC, GHC என்னுமிரண்டு முக்கோணங்களுக்கும் பொது; ஆகையால் FH, HC ஆகிய இரண்டு பக்கங்களும், GH, HC ஆகிய இரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமம்; CF என்னும் பாதவரி, CG என்னும் பாதவரிக்குச் சமம்; (இல. 15) ஆகையால் FHC என்னும் கோணம் GHC என்னுங்கோணத்துக்குச் சமம்; (சூ. 8.) இவைகள் அயல்கோணங்கள். ஆனால் ஒரு நேர்கோடு மற்றொரு நேர்கோட்டினின்று உண்டாக்கும் அயல்கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமானால் இவைகளிலொவ்வொன்றுஞ் செங்கோணமென்றும், ஒரு நேர்கோட்டில் நிற்கும் மற்ற நேர்கோடு அதற்குச் செங்குத்தென்றுஞ் சொல்லப்படும் (இல.10.). ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட C என்னும் புள்ளியிலிருந்து, ABக்குச் செங்குத்தாக CH என்னும் நேர்கோட்டை வரைந்திருக்கிறது. இ. செ.

ஒரு நேர்கோடு மற்றொரு நேர்கோட்டின் மீது நின்று ஒரு பக்கத்தில், உண்டாக்கும் கோணங்களிரண்டும், இரண்டு செங்கோணங்களாய், அல்லது இரண்டுங்கூடி இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமமாயிருக்கும். AB என்னும் நேர்கோடு CDயை சந்தித்து, ஒரு பக்கத்திலுண்டாக்கும் CBA, ABD என்னுங்கோணங்கள் இரண்டு செங்கோணங்களாய், அல்லது இரண்டுங்கூடி இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமமாயிருக்கும். எப்படியெனில், CBA என்னுங்கோணம் ABD என்னுங்கோணத்துக்குச் சமமாயிருந்தால், அவைகளொவ்வொன்றுஞ் செங்கோணமாயிருக்கும். (இல. 10.) ஆனால், CBA என்னுங்கோணம், ABD என்னுங்கோணத்துக்குச் சமமாயிராவிட்டால், B என்னும் புள்ளியிலிருந்து, CDக்குச் செங்குத்தாக BEயை வரை. (சூத். 11) அப்போது, CBE, EBD என்னுங்கோணங்கள், இரண்டு செங்கோணங்கள். (இல. 10.) CBE என்னுங்கோணம் CBA, ABE என்னுங்கோணங்களுக்குச் சமம்; இச்சமமானவைகளோடு EBD என்னுங்கோணத்தைக் கூட்ட, CBE, EBD என்னுங்கோணங்கள், CBA, ABE, EBD என்னுமூன்று கோணங்களுக்குச் சமம். (பி. பி. 2.) மேலும், DBA என்னுங்கோணம் DBE, EBA என்னும் இரண்டு கோணங்களுக்குச் சமம்; இச்சமமானவைகளோடு ABC என்னுங்கோணத்தைக்கூட்ட; DBA, ABC என்னுங்கோணங்கள், DBE, EBA, ABC என்னுமூன்ற்கோணங்களுக்குச் சமம். (பி.பி. 2) ஆனால், CBE, EBC என்னுங்கோணங்கள், இம்மூன்றுகோணங்களுக்குச் சமமென்று ரூபித்தோம்; ஒரே பொருளுக்குத் தனித்தனியே சமமானவைகள் ஒன்றுக்கொன்று சமம்; ஆகையால், CBE, EBD என்னுங்கோணங்கள், DBA, ABC என்னும் கோணங்களுக்குச் சமம்; ஆனால் CBE, EBD என்னுங்கோணங்களிரண்டு செங்கோணங்கள்; ஆகையால் DBA, ABC என்னுங் கோணங்களிரண்டுங்கூடி இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம். (பி.பி. 1) ஆனதால் ஒரு நேர்கோடு &c இ.ரூ.

ஒரு நேர்கோட்டின் ஒரு புள்ளியில், அதின் எதிர்த்த பக்கங்களிலுள்ள இரண்டு நேர்கோடுகள் சந்தித்துண்டாக்கும் அயல்கோணங்களிரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமமானால், அவ்விரண்டு நேர்கோடுகளும் ஒரே நேர்கோடாயிருக்கும். AB என்னும் நேர்கோட்டின் B என்னும் புள்ளியில், ABயின் எதிர்த்த பக்கங்களிலிருக்கும் BC, BD என்னும் நேர்கோடுகள் சந்தித்துண்டாக்கும், ABC, ABD என்னுமயல் கோணங்களிரண்டுங் கூடி இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமமானால்; அப்போது BDயும் BCயும் ஒரே நேர்கோடாயிருக்கும். BDயும் BCயும் ஒரே நேர்கோடாயிராவிட்டால், BCயும் BEயும் ஒரே நேர்கோடென்று வைத்துக்கொள்வோம்; அப்பொழுது AB, CBE என்னும் நேர்கோட்டைச் சந்திக்கிறதினால் CBA, ABE என்னும் அயல் கோணங்கள் இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம்; (சூத். 13) ஆனால் CBA, ABD என்னுங்கோணங்கள் இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம்; (சாத்தியம்) ஆகையால் CBA, ABE என்னுங்கோணங்கள், CBA ABD என்னுங்கோணங்களுக்குச் சமம்: (பி.பி 1.) இச்சமமானவைகளிலிருந்து, CBA என்னும் பொதுக்கோணத்தை நீக்க, ABE என்னு மீதிக்கோணம் ABD என்னுமீதிக்கோணத்துக்குச் சமம்; (பி.பி. 8) அதாவது சிறிது பெரிதுக்குச் சமம், இது அசாத்தியம். ஆகையால், BEயும் BCயும் ஒரே நேர்கோடல்ல. இவ்வாறே BDயைத் தவிர வேறொன்றும் BCயோடு ஒரே நேர்கோடாயிருக்கக்கூடாதென்று ரூபிக்கலாம். ஆகையால் BDயும் BCயும் ஒரே நேர்கோடாயிருக்கிறது. ஆதலால், ஒரு நேர்கோட்டின் ஒரு புள்ளியில் &c. இ. ரூ.

இரண்டு நேர்கோடுகளொன்றையொன்று ஊடறுத்துச்சென்றால், உச்சியிலுள்ள எதிர்கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாம். AB, CD என்னும் நேர்கோடுகளிரண்டும், E என்னும் புள்ளியில் ஒன்றையொன்று ஊடறுத்துச் செல்வதால், AEC என்னுங் கோணம் DEB என்னுங்கோணத்திற்கும், CEB என்னுங்கோணம் AED என்னுங்கோணத்திற்கும் சமமாயிருக்கும். எப்படியெனில், AE என்னுங்நேர்கோடு, CDயை, E என்னும் புள்ளியில் சந்தித்து, CEA, AED என்னும் அயல்கோணங்களையுண்டாக்குவதால்; அக்கோணங்களிரண்டுஞ் சேர்ந்து இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம். (சூத். 13.) மீளவும், DE என்னும் நேர்கோடு, ABயை, E என்னும் புள்ளியில் சந்தித்து AED, DEB என்னும் அயல்கோணங்களையுண்டாக்குவதால்; அக்கோணங்களிரண்டுஞ்சேர்ந்து இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம்; ஆனால் CEA, AED என்னுங்கோணங்கள் இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமமென்று முன்காண்பித்தோம்; ஆகையால் CEA, AED என்னுங்கோணங்கள் AED, DEB என்னுங் கோணங்களுக்குச் சமம்; இச்சமமானவைகளிலிருந்து, பொதுவான AED என்னுங்கோணத்தை நீக்க, CEA என்னுமீதிக்கோணம் DEB என்னுமீதிக்கோணத்துக்குச் சமம் (பி.பி. 8) இவ்விதமே CEB என்னுங்கோணம் AED என்னுங்கோணத்திற்குச் சமமென்று ரூபிக்கலாம். ஆகையால் இரண்டு நேர்கோடுகளொன்றையொன்று &c இ. ரூ பலிதம். I. இச்சூத்திரத்தினால், இரண்டு நேர்கோடுகளொன்றையொன்று ஊடறுத்துச் செல்லும்போது, அவ்வாறு ஊடறுக்கும் புள்ளியிலுண்டாகும் கோணங்கள்கூடி நாலு செங்கோணங்களுக்குச் சமமென்பதும்; பலிதம். II. ஒரு புள்ளியில், எத்தனை நேர்கோடுகளாவது சந்திப்பதினாலுண்டாகுங்கோணங்களெல்லாங்கூடி, நாலு செங்கோணங்களுக்குச் சமமென்பதுந் தெளிவாய் விளங்கும்.

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒருபக்கம் நீட்டப்படுவதினாலுண்டாகும் வெளிக்கோணம் தனக்கெதிர்த்த உட்கோணங்களொவ்வொன்றிலும் பெரிதாம். ABC ஒரு முக்கோணமாயும், அதில் BC என்னும்பக்கம், D மட்டும் நீட்டப்பட்டுமிருக்க, ACD என்னும் வெளிக்கோணம், தனக்கெதிர்த்த உட்கோணங்களாகிய CBA, BAC என்பவைகளொவ்வொன்றிலும் பெரிதாயிருக்கும். ACஐ, E என்னும் புள்ளியிலிருசமபாகங்களாகப் பிரித்து, (கூற்று 10) B, E என்னும் புள்ளிகளை யிணை; BEஐ F வரைக்கும் நீட்டி; EFஐ, BEக்குச் சமமாக்கு. (கூற்று 8). F, C என்னும் புள்ளிகளை யிணை. ABE, CFE என்னுமுக்கோணங்களிலுள்ள, AE, EB என்னுமிரண்டு பக்கங்கள் CE, EF என்னுமிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமம்; AEB, CEF என்னுங்கோணங்களெதிர்த்த உச்சிக்கோணங்களாகையால் ஒன்றுக்கொன்று சமம். (கூற்று 15) ஆகையால் AB என்னும் பாதவரி, CF என்னும் பாதவரிக்குச் சமம். AEB என்னுமுக்கோணம், CEF என்னுமுக்கோணத்திற்கு சமம்; (கூற்று 4) இம்முக்கோணங்களில், சமபக்கங்களுக்கெதிர்த்த மீதிக்கோணங்கள், முறையே யொன்றுக்கொன்று சமம்; ஆகையால் BAE என்னுங்கோணம் ECF என்னுங்கோணத்திற்குச் சமம்; ஆனால் ECD அல்லது ACD என்னுங்கோணம் ECF என்னுங்கோணத்திலும் பெரிது; ஆகையால் ACD என்னுங்கோணம் BAE என்னுங்கோணத்தைவிடப் பெரிது. இவ்விதமாகவே, BCயையிருசமபாகங்களாகப்பிரித்து ACயை Gவரையில் நீட்டினால்; BCG, அதாவது ACD என்னுங்கோணம் ABC என்னுங்கோணத்தைவிடப்பெரிதென்று ரூபிக்கலாம். (கூற்று 15) ஆகையால் ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கம் நீட்டப்படுவதினால், &c இ. ரூ.

ஒரு முக்கோணத்தின் எந்த இரண்டு கோணங்களுஞ்சேர்ந்து இரண்டு செங்கோணங்களிலுஞ் சிறிதாயிருக்கும். ABC ஒரு முக்கோணமானால், அதினெந்த இரண்டு கோணங்களுஞ்சேர்ந்து, இரண்டு செங்கோணங்களிலுஞ் சிறிதாயிருக்கும். BCயை D என்னும் புள்ளி வரையும் நீட்டு, ABC என்னுமுக்கோணத்தில், ACD வெளிக்கோணம்; ஆகையால் ACD என்ற கோணம் தனக்கெதிர்த்த உட்கோணமான ABCயிலும் பெரிது; (சூத். 16) சமமல்லாத இவைகளோடு ACB என்னுங்கோணத்தைக் கூட்ட, ACD, ACB என்னுங்கோணங்கள் ABC, ACB என்னுங் கோணங்களிலும் பெரிது; ஆனால் ACD, ACB என்னுங்கோணங்கள் இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம். (சூத். 13) ஆகையால் ABC, BCA என்னுங்கோணங்கள் இரண்டுசெங்கோணங்களிலுஞ் சிறிது. இவ்வாறே, BAC, ACB என்னுங்கோணங்களும், அப்படியே CAB, ABC என்னுங்கோணங்களும், இரண்டு செங்கோணங்களிலுஞ் சிறிதென்று ரூபிக்கலாம். ஆகையால் ஒரு முக்கோணத்தின், &c. இ. ரூ.

ஒவ்வொரு முக்கோணத்திலும், பெரியபக்கத்துக்கு எதிர்த்தகோணம், பெரிதாம். ABC என்பது ஒரு முக்கோணம், அதில் AC என்னும் பக்கம் ABயிலும் பெரிது; அப்போது ABC என்னுங்கோணம், BCA என்னுங்கோணத்திலும் பெரிதாயிருக்கும். எப்படியெனில், AC என்னும்பக்கம் AB என்னும் பக்கதிலும் பெரிது, ABக்குச் சமமாக ADயை வெட்டி, (சூ. 8) BDயை யிணை. அப்போது ABD என்னுமுக்கோணத்தில் AD, ABக்குச் சமம், ஆகையால் ADB என்னுங்கோணம் ABD என்னுங்கோணத்திற்குச் சமம். (சூ. 5) மேலும் DBC என்னுமுக்கோணத்தில் CD என்னும் பக்கம் A என்னும் புள்ளிமட்டும் நீட்டப்பட்டிருக்கிறதால், ADB என்னும் வெளிக்கோணம் தனக்கெதிர்த்த உட்கோணமாகிய DCBயிலும் பெரிது. (சூத். 16) ஆனால் ADB என்னுங்கோணம், ABD என்னுங்கோணத்திற்குச் சமமென்று ரூபித்தோம், ஆகையால் ABD என்னுங்கோணம், DCB என்னுங்கோணத்திலும்பெரிது; அப்படியானால் ABC என்னுங்கோணம் ACB என்னுங்கோணத்திலும் அதிகப்பெரிதாயிருக்கவேண்டும். ஆகையால் ஒவ்வொரு முக்கோணத்திலும், &c. இ. ரூ.

ஒவ்வொரு முக்கோணத்திலும், பெரிய கோணத்திற்க்கெதிர்த்த பக்கம் பெரிதாம். ABC என்பது ஒரு முக்கோணம், அதில் ABC என்னுங்கோணம் BCA என்னுங்கோணத்திலும் பெரிதானால், AC என்னும் பக்கம் AB என்னும் பக்கத்திலும் பெரிதாயிருக்கும். எப்படியெனில்; AC என்னும் பக்கம் ABயிலும் பெரிதாயிராவிட்டால், AC, ABக்குச் சமமாயாவது, சிறிதாயாவது இருக்கவேண்டும்; AC, ABக்குச் சமமானால், அப்போது ABC என்னுங்கோணம் ACB என்னுங்கோணத்துக்குச் சமமாம். (சூத். 5) ஆனால் அது சமமல்ல; (சாத்தியம்.) ஆகையால் AC என்னும் பக்கம் ABக்குச் சமமானதல்ல. மேலும்; AC, ABக்குச் சிறிதானால், அப்போது ABC என்னுங் கோணம் ACB என்னுங் கோணத்திலுஞ் சிறிதாம். (சூத். 18.) ஆனால் அது சிறிதல்ல, (சாத்தியம்) ஆகையால், AC என்னும் பக்கம் ABக்குச் சிறிதானதல்ல; AC, ABக்குச் சமமானதல்லவென்று ரூபித்தோம்; ஆகையால் AC என்னும் பக்கம் ABயிலும் பெரிதே. ஆதலால் ஒவ்வொரு முக்கோணத்திலும் பெரியகோணம். &c. இ. ரூ.

ஒரு முக்கோணத்தில் எந்த இரண்டு பக்கங்களுஞ்கூடி மூன்றாம் பக்கத்திலும் பெரிதாம். ABC என்பது ஒரு முக்கோணம். அதின் எந்த இரண்டு பக்கங்களுங்கூடி மூன்றாம்பக்கத்திலும் பெரிதாயிருக்கும். அதாவது BA, AC என்னும் பக்கங்கள் BC என்னும்பக்கத்திலும்; AB, BC என்னும் பக்கங்கள் AC என்னும் பக்கத்திலும்; BC, CA என்னும் பக்கங்கள் AB என்னும் பக்கத்திலும் பெரிதாயிருக்கும். BA என்னும் பக்கத்தை D என்னும் புள்ளிவரை நீட்டி, ADயை ACக்குச் சமமாக்கி, (சூத். 8) DCயை இணை. AD, ACக்குச் சமம், (செய்கை.) ஆகையால் ADC என்னுங்கோணம், ACD என்னுங்கோணத்துக்குச் சமம்; (சூத். 5) ஆனால் BCD என்னுங்கோணம், ACD என்னுங்கோணத்திற் பெரிது; ஆகையால், BCD என்னுங்கோணம், ADC என்னுங்கோணத்திலும் பெரிதே. மேலும், DBC என்னுமுக்கோணத்தில், BCD என்னுங்கோணம் BDC என்ற கோணத்திலும் பெரிது, பெரிய கோணத்துக்கு எதிர்த்த பக்கம் பெரிது; (சூத். 19) ஆகையால், DB என்னும் பக்கம், BC என்னும் பக்கத்திலும் பெரிது; ஆனால், DB என்னும் பக்கம் BA, ACக்குச் சமம், ஆகையால் BA, AC என்னும் பக்கங்கள் BC என்னும் பக்கத்திலும் பெரிது. இவ்விதமாகவே, AB, BC என்னும் பக்கங்கள் CAயிலும்; அப்படியே, BC, CA என்னும் பக்கங்கள் AB யிலும்; பெரிதென்று ரூபிக்கலாம். ஆகையால் ஒரு முக்கோணத்தின் எந்த இரண்டு பக்கங்களும், &c இ. ரூ.

ஒரு முக்கோணத்தில் ஓர் பக்கத்தின் இருமுனைகளிலிருந்து, முக்கோணத்தினுள் ஓர் புள்ளிமட்டுமிரண்டு நேர்கோடுகள் வரையப்பட்டால், இவைகள் முக்கோணத்தினிரண்டு பக்கங்களுக்குச் சிறிதாயும், பெரியகோணத்தை அடக்கியுமிருக்கும். ABC ஒரு முக்கோணமாயும், B, C என்ற முனைகளிலிருந்து BD, CD என்னும் நேர்கோடுகள் முக்கோணத்தினுள் D என்னும் புள்ளிமட்டும் வரையப்பட்டுமிருந்தால்; அப்போது BD, DC என்னும் பக்கங்கள் BA, AC என்னுமுக்கோணத்தினிரண்டு பக்கங்களுக்குச்சிறிதாயும்; BDC என்னுங்கோணம் BAC என்னுங்கோணத்திற்குப் பெரிதாயுமிருக்கும். AC என்னும் பக்கத்தை E என்னும் புள்ளியில் சந்திக்கும்படி BDயை நீட்டு. ஒரு முக்கோணத்தின் எந்தவிரண்டு பக்கங்ளுமூன்றாவதைவிடப் பெரிது, (சூத். 20.) ஆகையால் ABE என்னுமுக்கோணத்தில் BA, AE என்னுமிரண்டு பக்கங்களும் BEயை விடப் பெரிது; சமமல்லாத இவைகளொவ்வொன்றோடும் ECயைக் கூட்டு; அப்பொழுது BA, AC என்னும் பக்கங்கள் BE, EC என்னும் பக்கங்களுக்குப் பெரிது. (பி.பி. 4) மேலும் CED என்னுமுக்கோணத்தில் CE, ED என்னுமிரண்டு பக்கங்கள் DCயை விடப்பெரிது; (சூத். 20.) சமமல்லாத இவைகளொவ்வொறோடும் DBயைக் கூட்டு; அப்போது CE, EB என்னும் பக்கங்கள் CD, DB என்னும் பக்கங்களைவிடப் பெரிது. (பி.பி. 4) ஆனால் BA, AC என்னும் பக்கங்கள் BE, EC என்னும் பக்கங்களைவிட பெரிதென்று காண்பித்தோம். ஆனால் BA, AC என்னும் பக்கங்கள் BD, DC என்னும் பக்கங்களுக்கு அதிகப் பெரிதாயிருக்கவேண்டும். மேலும், வெளிக்கோணம் தனக்கெதிர்த்த உட்கோணத்திலும் பெரிது; (சூத். 16.) ஆகையால் CDE என்னுமுக்கோணத்தில் BDC என்னும் வெளிக்கோணம் CED என்னும் தனிக்கெதிர்த்த உட்கோணத்திலும் பெரிது; அவ்வாறே ABE என்னுமுக்கோணத்தில் CED என்னும் வெளிக்கோணம் BAC என்னும் தனக்கெதிர்த்த உட்கோணத்திலும் பெரிது; ஆனால் BDC என்னுங்கோணம் CEB என்னுங் கோணத்திற்குப் பெரிதென்று ரூபித்தோம்; ஆகையால் BDC என்னுங்கோணம் BAC என்னுங்கோணத்திற்கு அதிகப் பெரிதாயிருக்கவேண்டும். ஆனதால் ஒரு முக்கோணத்தில், &c. இ. ரூ.

கொடுக்கப்பட்ட மூன்று நேர்கோடுகளுக்குத், தன் மூன்று பக்கங்களுஞ் சமமாயிருக்கபெற்ற முக்கோணத்தை வரையும் வகை: கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடுகளில் எவ்விரண்டுஞ் சேர்ந்து மூன்றாவதற்குப் பெரிதாயிருக்கவேண்டும். A, B, C கொடுக்கப்பட்ட மூன்று நேர்கோடுகள்; அவைகளிலெவ்விரண்டு பக்கங்களூமூன்றாவதைவிடப்பெரிது, (சூத். 20.). எப்படியெனில் A, B என்னும் நேர்கோடுகள் C என்னும் நேர்கோட்டிலும், A, C என்னும் நேர்கோடுகள் B என்னும் நேர்கோட்டிலும், B, C என்னும் நேர்கோடுகள் A என்னும் நேர்கோட்டிலும் பெரிது. A, B, C என்னும் மூன்று நேர்கோடுகளுக்கு, தன் மூன்று பக்கங்களும் முறையே சமமாயிருக்கப்பெற்ற முக்கோணத்தை வரையவேண்டும். D என்னும் புள்ளியில் முடிவுள்ளதாயும் E என்னும் புள்ளிக்கு நேராக, நீட்டிக்கொள்ளத்தக்கதுமான DE என்னும் நேர்கோட்டை வரைந்துகொண்டு, DF என்னும் பாகத்தை A என்னும் நேர்கோட்டுக்குச் சமமாகவும், FG என்னும் பாகத்தை B என்னும் நேர்கோட்டுக்குச் சமமாகவும், GH என்னும் பாகத்தை C என்னும் நேர்கோட்டுக்குச் சமமாகவுஞ் செய்; (சூத். 8.) F என்னும் புள்ளியை மத்தியாகக்கொண்டு, FD தூரத்தில் DKL என்ற விருத்தத்தை வரை;(ஈகை. 8) G என்னும் புள்ளியை மத்தியாகக்கொண்டு, GH தூரத்தில் HLK என்ற விருத்தத்தை வரை;(ஈகை. 8) K, F என்னும் புள்ளிகளையும் K, G என்னும் புள்ளிகளையுமிணை. அப்பொழுது KFG என்ற முக்கோணமானது தன் பக்கங்கள் A, B, C என்னுமூன்று நேர்கோடுகளுக்குச் சமமாயிருக்கப் பெற்றதாம். எப்படியெனில், DKL என்னும் விருத்தத்திற்கு F மத்தியானதால், FD, FKக்குச் சமம்; (இலட். 15) ஆனால் FD, A என்னும் நேர்கோட்டுக்குச் சமம்; (செய்கை.) ஆதலால் FK, Aக்குச் சமம். (பி. பி. 1) மேலும், HKL என்ற விருத்தத்திற்கு G என்னும் புள்ளி மத்தியானதால், GH, GKக்குச் சமம். (இலட். 15) ஆனால் GH, C க்குச் சமம்; (செய்கை.) ஆகையால் GK, Cக்குச் சமம்; (பி. பி. 1) FG, Bக்குச் சமம்; (செய்கை.) ஆகையால் KF, EG, GK என்ற பக்கங்கள் மூன்றும் A, B, C என்ற மூன்றுக்கு முறையே சமம். ஆனதால் KF, FG, GK என்னுந் தன் பக்கங்கள் கொடுக்கப்பட்ட A, B, C என்னுமூன்று நேர்கோடுகளுக்கு முறையே சமமாயிருக்கப்பெற்ற KFG என்னுமுக்கோணம் வரையப்பட்டிருக்கிறது. இ. செ.

குறித்த நேர்கோட்டில்க் குறித்த புள்ளியிடத்து, குறித்த நேர்கோட்டுக் கோணத்துக்குச் சமமாக ஒரு நேர்கோட்டுக் கோணத்தை வரையும் வகை. AB குறித்த நேர்கோடு, A அதில குறித்த புள்ளி, DCE குறித்த நேர்கோட்டுக்கோணம். குறித்த AB என்னும் நேர்கோட்டில்க் குறித்த A என்னும் புள்ளியிடத்து, குறித்த DCE என்னும் நேர்கோட்டுக் கோணத்துக்குச் சமமாக, ஒரு நேர்கோட்டுக் கோணத்தை வரையவேண்டும். CD, CE என்னும் பக்கங்களில் D, E என்னும் புள்ளிகளைத் தெரிந்து, D, E என்றவைகளை யிணை; தன் பக்கங்கள் CD, DE, EC என்னுமூன்று நேர்கோடுகளுக்கு முறையே சமமாக, எப்படியென்றால், AF, CDக்கும்; AG, CEக்கும்; FG, DEக்கும் சமமாயிருக்கப்பெற்ற FAG என்னும் முக்கோணத்தை வரை. (சூத். 22) அப்பொழுது FAG என்னுங்கோணம் DCE என்னுங்கோணத்துக்குச் சமமாயிருக்கும். எப்படியெனில் FA, AG என்னும் பக்கங்கள் DC, CE என்னும் பக்கங்களுக்கு முறையே சமம், FG என்னும் பாதவரி DE என்னும் பாதவரிக்குச் சமம்; ஆகையால் FAG என்னுங்கோணம் DCE என்னுங்கோணத்துக்குச் சமம். (சூத். 8) ஆனதால் குறித்த AB என்னும் நேர்கோட்டில்க் குறித்த A என்னும் புள்ளியிடத்து, குறித்த DCE என்னும் நேர்கோட்டுக் கோணத்திற்கு சமமாக FAG என்னும் நேர்கோணத்தை வரைந்திருக்கிறது. இ. செ.

இரண்டு முக்கோணங்களில் ஒன்றினிரண்டு பக்கங்கள் மற்றதினிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமமாயும், ஒன்றினிரண்டு பக்கங்களாலடங்கிய கோணம் மற்றதிலவைகளுக்குச் சமமானவிரண்டு பக்கங்களாலடங்கிய கோணத்திற்குப் பெரிதாயுமிருந்தால்; பெரிய கோணத்தையுடைய முக்கோணத்தின பாதவரி மற்றதின் பாதவரியைவிடப் பெரிதாயிருக்கும். ABC, DEF இரண்டு முக்கோணங்களாயும், அவைகளில் AB, AC என்னுமிரண்டு பக்கங்கள் DE, DF என்னுமிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமமாயும், அதாவது AB, DEக்கும் AC, DFக்கும் சமமாயும், BAC என்னுங் கோணமோ EDF என்னுங் கோணத்தைவிடப் பெரிதாயுமிருக்க, BC என்னும் பாதவரி EF என்னும் பாதவரியைவிடப் பெரிதாயிருக்கும். DE, DF என்னுமிரண்டு பக்கங்களில் DE, DFஐ விடப் பெரிதல்லாததென்று வைத்துக்கொள்வோம். DE என்னும் நேர்கோட்டில் D என்னும் புள்ளியில், BAC என்னுங் கோணத்துக்குச் சமமாக EDG என்னுங் கோணத்தையும்; (சூத். 23) DF அல்லது ACக்குச் சமமாக DG என்னும் பக்கத்தையுஞ் செய்து, (சூத். 3) EG, EF என்றவைகளை யிணை. அப்பொழுது DE, ABக்கும்; DG, ACக்குஞ் சமமாயிருப்பதால், DE, DG என்னுமிரண்டு பக்கங்கள் AB, AC என்னுமிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமம்; EDG என்னுங்கோணம் BAC என்னுங்கோணத்துக்குச் சமம்; (செய்கை.) ஆகையால் EG என்னும் பாதவரி BC என்னும் பாதவரிக்குச் சமம்; (சூத். 4) மேலும் DFG என்னுமுக்கோணத்தில் DG, DFக்குச் சமம். (செய்கை.) ஆதலால் DFG என்னுங்கோணம் DGF என்னுங் கோணத்துக்குச் சமம்; (சூத். 5) ஆனால் DGF என்னுங்கோணம் EGF என்னுங்கோணத்திலும் பெரிது; (பி. பி. 9) ஆகையால் DFG என்னுங் கோணமும் EGF என்னுங்கோணத்தை விடப்பெரிது; அப்படியாகில் EFG என்னுங்கோணம் EGF என்னுங்கோணத்தை விடப்பெரிது; EFG என்னுமுக்கோணத்தில், EFG என்னுங்கோணம் EGF என்னுங் கோணத்திலும் பெரிதாதலாலும், பெரியகோணத்துக்கெதிர்த்த பக்கம் பெரிதாதலாலும்; (சூத். 19.) EG என்னும் பக்கம் EF என்னும் பக்கத்திலும் பெரிது; ஆனால் EG, BCக்குச் சமமென்று ரூபித்தோம்; ஆகையால் BC, EFஐ விடப் பெரிதாயிருக்கிறது. ஆகவே இரண்டு முக்கோணங்களில் ஒன்றினிரண்டு பக்கங்கள், &c. இ. ரூ.

இரண்டு முக்கோணங்களில் ஒன்றினிரண்டு பக்கங்கள் மற்றதினிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமமாயும், ஒன்றின் பாதவரி மற்றதின் பாதவரியைவிடப் பெரிதாயுமிருந்தால், பெரிய பாதவரியையுடைய முக்கோணத்தின் பக்கங்களாலடங்கிய கோணம் மற்றதில் அவைகளுக்குச் சமமான பக்கங்களாலடங்கிய கோணத்தைவிடப் பெரிதாயிருக்கும். ABC, DEF இரண்டு முக்கோணங்களாயும், அவைகளில் AB, AC என்னுமிரண்டு பக்கங்கள் DE, DF என்னுமிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமமாயும், எப்படியெனில், AB, DEக்கும்; AC, DFக்குஞ் சமமாயும்; BC என்னும் பாதவரி EF என்னும் பாதவரியைவிடப் பெரிதாயுமிருந்தால்: அப்போது BAC என்னுங்கோணம் EDF என்னுங்கோணத்தைவிடப் பெரிதாயிருக்கும். BAC என்னுங்கோணம் EDF என்னுங்கோணத்தைவிடப் பெரிதாயிராவிட்டால், அதற்குச் சமமாயாவது, சிறிதாயாவது இருக்கவேண்டும். BAC என்னுங்கோணம் EDF என்னுங் கோணத்துக்குச் சமமானால், அப்போது BC என்னும் பாதவரி EF என்னும் பாதவரிக்குச் சமமாயிருக்கும்; (சூத். 4) ஆனால் அதற்குச் சமமல்ல, (சாத்தியம்) ஆகையால் BAC என்னுங்கோணம் EDF என்னுங்கோணத்திற்குச் சமமல்ல. மீளவும் BAC என்னுங்கோணம் EDF என்னுங்கோணத்திற்குச் சிறிதானால், அப்போது BC என்னும் பாதவரி EF என்னும் பாதவரிக்குச் சிறிதாயிருக்கும; (சூத். 24) ஆனால் அதற்குச் சிறிதல்ல, (சாத்தியம்) ஆகையால் BAC என்னுங் கோணம் EDF என்னுங் கோணத்திற்கு சிறிதல்ல. BAC என்னுங்கோணம் EDF என்னுங் கோணத்துக்குச் சமமல்லலென்று முன் காண்பித்தோம்; ஆகையால் BAC என்னுங் கோணம் EDF என்னுங் கோணத்திற்குப் பெரிதே. ஆதலால் இரண்டு முக்கோணங்களில் ஒன்றினிரண்டு பக்கங்கள், &c. இ. ரூ.

இரண்டு முக்கோணங்களில் ஒன்றினிரண்டு கோணங்கள் மற்றதினிரண்டு கோணங்களுக்கு முறையே சமமாயும்; ஒன்றின் ஒரு பக்கம் மற்றதின் ஒரு பக்கத்துக்குச் சமமாயும், அதாவது ஒவ்வொரு முக்கோணத்திலும் சமகோணங்களுக்கு அடுத்த அல்லது எதிர்த்த பக்கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாயுமிருந்தால்; மீதிப்பக்கங்கள் முறையேசமமாயும், ஒன்றின் மூன்றாங்கோணம் மற்றதின்மூன்றுங்கோணத்துக்குச் சமமாயுமிருக்கும். ABC, DEF இரண்டு முக்கோணங்களாயும், அவைகளில், ABC, BCA என்னுங்கோணங்கள் DEF, EFD என்னுங் கோணங்களுக்கு முறையே சமமாயும், எப்படியெனில், ABC, DEFக்கும்; BCA, EFDக்குஞ் சமமாயும்; அப்படியே முதலாவது, இரண்டு முக்கோணங்களிலுமுள்ள சமகோணங்களுக்கடுத்த பக்கங்களாகிய BC, EF என்பவை சமமாயுமிருந்தால்; அப்போது மீதிப்பக்கங்கள் முறையே சமமாயும், அதாவது AB, DEக்கும், AC, DFக்கும் சமமாயும்; BAC என்னுமூன்றாங் கோணம் EDF என்னுங்கோணத்துக்குச் சமமாயுமிருக்கும். AB, DEக்குச் சமமல்லாவிட்டால், இரண்டிலொன்று பெரிதாயிருக்கவேண்டும். AB, DEயைவிடப் பெரிதென்று வைத்துக்கொள்ளுவோம். BGயை DEக்குச் சமமாய் வெட்டி (சூத். 8.) GCயை யிணை. அப்போது GBC, DEFக்குஞ் சமமாதலால், (சாத்தியம்.) GB, BC என்னுமிரண்டு பக்கங்கள் DE, EF என்னுமிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமம்; GBC என்னுங்கோணம், DEF என்னுங்கோணத்திற்குச் சமம்; ஆகையால் GC என்னும் பாதவரி DF என்னும் பாதவரிக்குச் சமம், (சூத். 4) GBC என்னுமுக்கோணம் DEF என்னுமுக்கோணத்திற்குச் சமம், அப்படியே சமபக்கங்களுக்கெதிர்த்த மீதிக்கோணங்களும் முறையே சமம்; ஆகையால் GCB என்னுங்கோணம், DFE என்னுங்கோணத்திற்குச் சமம்; ஆனால் DFE என்னுங் கோணம் ACB என்னுங் கோணத்திற்குச் சமமாகக் குறித்திருக்கிறது; ஆகையால் GCB என்னுங்கோணமும் ACB என்னுங்கோணத்திற்குச் சமம்; (பி. பி. 1) அதாவது சிறியகோணம் பெரியகோணத்திற்குச் சமம்; அது அசாத்தியம்; ஆகையால் AB, DEக்குச் சமமல்லாததல்ல, அதாவது AB, DEக்குச் சமம். ஆதலால் ABC, DEF என்னுமுக்கோணங்களில்; AB, DEக்கும்; BC, EFக்குஞ் சமமாயும், (சாத்தியம்.) ABC என்னுங் கோணம் DEF என்னுங் கோணத்திற்குச் சமமாயுமிருப்பதால்; (சாத்தியம்.) AC என்னும் பாதவரி DF என்னும் பாதவரிக்குச் சமம், (சூத். 4) BAC என்னுமூன்றாங்கோணமும் EDF என்னுங்கோணத்திற்குச் சமம். இரண்டாவது ஒவ்வொரு முக்கோணத்திலுமுள்ள சமகோணங்களுக்கெதிர்த்த பக்கங்களாகிய AB, DE என்பவைகள் சமமென்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த விஷயத்திலும் மீதிப்பக்கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாயும், அதாவது AC, DFக்கும் BC, EFக்கும் சமமாயும், BAC என்னுமூன்றாங் கோணம் EDF என்னுங் கோணத்துக்குச் சமமாயுமிருக்கும். BC, EFக்குச் சமமல்லாவிட்டால், இரண்டிலொன்று பெரிதாயிருக்க வேண்டும்: BC, EFஐவிடப் பெரிதென்று வைத்துக்கொள்வோம். BH என்ற பாகத்தை EFக்குச் சமமாயறுத்து, (சூத். 3.) A, H என்னும் புள்ளிகளை யிணை. அப்பொழுது ABH, DEF என்னுமிரண்டு முக்கோணங்களில், AB, DEக்கும்; BH, EFக்குஞ் சமமாயும்; ABH என்னுங்கோணம் DEF என்னுங் கோணத்திற்குச் சமமாயுமிருப்பதால்; (சாத்தியம்.) AH என்னும் பாதவரி DF என்னும் பாதவரிக்குச் சமம், (சூத். 4) ABH என்னுமுக்கோணம் DEF என்னுமுக்கோணத்திற்குச் சமம், சமபக்கங்களுக்கெதிர்த்த மீதிக்கோணங்களுமுறையே யொன்றுக்கொன்று சமம், ஆகையால் BHA என்னுங்கோணம் EFD என்னுங்கோணத்திற்குச் சமம்; ஆனால் EFD என்னுங்கோணம் BCA என்னுங்கோணத்திற்குச் சமம்; (சாத்தியம்.) ஆகையால் BHA என்னுங்கோணம் BCA என்னுங்கோணத்திற்குச் சமம். (பி. பி. 1) அதாவது AHC என்னுமுக்கோணத்தின் வெளிக்கோணமாகிய BHA அதினெதிர்த்த உட்கோணமகிய BCAக்குச் சமம்; அது அசாத்தியம்; (சூத். 16) ஆகையால் BC என்னும் பக்கம் EF என்னும் பக்கத்துக்குச் சமமல்லாததல்ல, அதாவது BC, EFக்குச் சமமாம். மேலும் ABC, DEF என்னும் முக்கோணங்களில்; AB, DEக்கும்; BC, EFக்கும் சமமாயும், (சாத்தியம்.) அவைகளாலடங்கிய ABC என்னுங்கோணம் DEF என்னுங்கோணத்துக்குச் சமமாயுமிருப்பதால்; (சாத்தியம்) AC என்னும் பாதவரி DF என்னும் பாதவரிக்குச் சமம், (சூத். 4) BAC என்னுமூன்றாங்கோணமும், EDF என்னுங்கோணத்துக்குச்சமம். ஆகையால் இரண்டு முக்கோணங்களில், &c. இ. ரூ.

ஒரு நேர்கோடு மற்ற இரண்டு நேர்கோடுகளைச் சந்திப்பதினால் ஆகும் மாறுகோணங்களொன்றுக்கொன்று சமமானால்; அவ்விரண்டு நேர்கோடுகளுஞ் சமதூரமாயிருக்கும். EF என்னும் நேர்கோடு AB, CF என்னும் இரண்டு நேர்கோடுகளைச் சந்திப்பதினாலாகும் AEF, EFD என்னுமாறுகோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமானால், அப்போது AB என்னும் நேர்கோடு CDக்குச் சமதூரமாயிருக்கும். எப்படியெனில், AB, CDக்குச் சமதூரமாயிராவிட்டால், AB, CD என்னும் நேர்கோடுகளை A, C என்னும் திசையாயாவது B, D என்னும் திசையாயாவது நீட்டினால், சந்திக்கும். AB, CD என்னும் நேர்கோடுகள் B, D என்னும் திசையாய் நீட்டப்பட்டு G என்னும் புள்ளியில் சந்தித்திருப்பதாய் வைத்துக்கொள்வோம். அப்பொழுது GEF ஒரு முக்கோணமாகும். AEF என்னும் வெளிக்கோணம் தனக்கெதிர்த்த உட்கோணமாகிய EFGயிலும் பெரிதாயிருக்கும்; (சூத். 16) ஆனால் AEF என்னுங்கோணம் EFG என்னுங்கோணத்திற்குச் சமம். (சாத்தியம்) ஆகையால் AEF என்னுங்கோணம் EFG என்னுங்கோணத்திற்குப் பெரிதாயும் சமமாயுமிருக்கிறதே; இது அசாத்தியம். ஆதலால் AB, CD என்னும் நேர்கோடுகள் B, D திசையாய் நீட்டப்படும்பொழுது சந்திக்கவே மாட்டாது. இவ்விதமே அவைகள் A, C திசையாய் நீட்டப்படும்பொழுதும் சந்திக்கமாட்டாதென்று ரூபிக்கலாம். ஆனால் ஒரே பரப்பில் இருவழியினும் எவ்வளவு தூரம் நீட்டப்பட்டப்போதிலும், சந்திக்காத நேர்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று சமதூரமாயிருக்கும்; (இலட். 35) ஆகையால் AB, CDக்குச் சமதூரமாயிருக்கின்றது. ஆகவே ஒரு நேர்கோடு மற்ற இரண்டு நேர்கோடுகளைச் சந்திப்பதினால், &c இ. ரூ.

ஒரு நேர்கோடு மற்ற இரண்டு நேர்கோடுகளின்மேல் விழுவதினாலுண்டாகும் வெளிக்கோணம் ஒரே பக்கத்தில் தனக்கெதிர்த்த உட்கோணத்துக்குச் சமமாயும், ஒரே பக்கத்திலுண்டாகும் உட்கோணங்கள் சேர்ந்து இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமமாயுமிருந்தால்; அவ்விரண்டு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று சமதூரமாயிருக்கும். EF என்னும் நேர்கோடு AB, CD என்னும் நேர்கோடுகளில் மேல் விழுவதினாலுண்டாகும், EGB என்னும் வெளிக்கோணம் ஒரே பக்கத்தில் தனக்கெதிர்த்த GHD என்னும் உட்கோணத்துக்குச் சமமாயும்; ஒரு பக்கத்திலுள்ள BGH, GHD என்னும் உட்கோணங்கள் இரண்டும் செங்கோணங்களுக்குச் சமமாயுமிருந்தால்; அப்போது AB என்னும் நேர்கோடு CDக்குச் சமதூரமாயிருக்கும். எப்படியெனில் EGB என்னுங்கோணம் GHD என்ற கோணத்துக்குச் சமம்; (சாத்தியம்) EGB என்னுங்கோணம் AGH என்னுங்கோணத்துக்குச் சமம், (சூத். 15.) ஆகையால் AGH என்னுங்கோணம் GHD என்னுங்கோணத்திற்குச் சமம். (பி. பி. 1) இவைகள் மாறுகோணங்கள். ஆதலால் AB, CDக்குச் சமதூரம். (சூத். 27) மேலும், BGH, GHD என்னும் இரண்டு கோணங்களுங்கூடி இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம், (சாத்தியம்) அவ்வாறே AGH, BGH என்னும் இரண்டு கோணங்களுங்கூடி இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம்; (சூத். 13.) ஆகையால் AGH, BGH என்னுங்கோணங்கள் BGH, GHD என்னுங்கோணங்களுக்குச் சமம்; (பி.பி.1) பொதுவான BGH என்னுங்கோணத்தை நீக்கினால், அப்போது AGH என்னுமீதிக்கோணம் GHD என்னுமீதிக்கோணத்துக்குச் சமம்; (பி.பி 3.) இவைகள் மாறுகோணங்கள்; ஆகையால் AB என்னும் நேர்கோடு CDக்குச் சமதூரமே (சூத். 27) ஆகவே ஒரு நேர்கோடு மற்ற இரண்டு நேர்கோடுகளின் மேலும் விழுவதினால், &c இ. ரூ.

ஒருநேர்கோடு மற்ற இரண்டு சமதூரநேர்கோடுகளின் மேல் விழுவதினால் உண்டாகும் மாறுகோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாயும்; வெளிக்கோணம் ஒரே பக்கத்தில் தனக்கெதிர்த்த உட்கோணத்துக்குச் சமமாயும்; ஒரே பக்கத்திலுள்ள உட்கோணங்கள் இரண்டுஞ் சேர்ந்து இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமமாயுமிருக்கும். EF என்னும் நேர்கோடு AB, CD என்னுஞ்சம தூர நேர்கோடுகளின் மேல் விழ, AGH என்னும் மாறுகோணம் GHD என்னும் மாறுகோணத்திற்குச் சமமாயும்; EF என்னும் நேர்கோட்டின் ஒரே பக்கத்திலுள்ள EGB என்னும் வெளிக்கோணம், தனக்கெதிர்த்த GHD என்னும் உட்கோணத்திற்குச் சமமாயும்; ஒரே பக்கத்திலுள்ள உட்கோணங்களாகிய BGH GHD இரண்டுஞ் சேர்ந்து இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமமாயுமிருக்கும். எப்படியெனில், AGH என்னுங்கோணம் GHD என்னும் மாறுகோணத்துக்குச் சமமாயிராவிட்டால், இரண்டிலொன்று பெரிதாயிருக்கவேண்டும்; AGH என்னுங்கோணம் GHDயை விடப் பெரிதென்று வைத்துக்கொள்வோம். சமமற்ற இவை ஒவ்வொன்றோடும் BGH என்னுங்கோணத்தைக்கூட்டு, அப்பொழுது AGH, BGH என்னுங்கோணங்கள் BGH, GHD என்னுங்கோணங்களைவிடப் பெரிதாம்; (பி. பி. 4) ஆனால் AGH, BGH என்னுங்கோணங்கள் இரண்டுஞ்சேர்ந்து இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம்; (சூத். 13) ஆகையால் BGH, GHD என்னுங்கோணங்கள், இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சிறிதாம்; ஆனால் ஒரு நேர்கோடு மற்ற இரண்டு நேர்கோடுகளைச் சந்திப்பதினால் ஒரே பக்கத்திலுண்டாகும் உட்கோணங்கள் இரண்டுங்கூடி இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமமானால், அவ்விரண்டு நேர்கோடுகளும் வேண்டிய அளவுநீட்டப்படுமாகில் ஒன்றை ஒன்று சந்திக்கும்; (பி. பி. 12) ஆகையால் AB, CD என்னும் நேர்கோடுகளை வேண்டிய அளவு நீட்டினால், அவை சந்திக்கும்; சாத்தியத்தின்படி அவை சமதூர நேர்கோடுகளானதால் ஒரு பொழுதும் சதிக்கமாட்டாது; ஆகையால் AGH என்னுங்கோணம் GHD என்னுங்கோணத்துக்குச் சமமல்லாததல்ல, அதாவது AGH என்னுங்கோணம் GHD என்னுங்கோணத்துக்குச் சமமே: ஆனால் AGH என்னுங்கோணம் EGB என்னுங்கோணத்துக்குச் சமம்; (சூத். 15) ஆகையால் EGB என்னுங்கோணம் GHD என்னுங்கோணத்துக்குச் சமம்: (பி.பி. 1) இவைகளொவ்வொன்றோடும் BGH என்னுங்கோணத்தைக் கூட்டு; அப்பொழுது EGB, BGH என்னுங்கோணங்கள் BGH, GHD என்னுங்கோணங்களுக்குச் சமமாம்; (பி.பி. 2) ஆனால் EGB, BGH என்னுங்கோணங்கள் இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம்; (சூத். 18.) ஆகையால் BGH, GHD என்னுங்கோணங்களும் இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம்; (பி. பி. 1) ஆகவே ஒரு நேர்கோடு மற்ற இரண்டு சமதூர நேர்கோடுகளை, &c. இ. ரூ.

ஒரே நேர்கோட்டுக்குச் சமதூரமான நேர்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று சமதூரமாம். AB, CD என்னும் நேர்கோடுகள் ஒவ்வொன்றும் EF என்னும் நேர்கோட்டுக்குச் சமதூரமாயிருந்தால், அப்போது AB என்னும் நேர்கோடு CDக்குச் சமதூரமாயிருக்கும். GHK என்னும் நேர்கோடு AB, EF, CD என்பவைகளை ஊடறுத்துச் செல்லட்டும். AB, EF என்னும் சமதூரநேர்கோடுகளை GHK ஊடறுத்துச் செல்வதால், AGH என்னுமாறுகோணம், GHF என்னுமாறுகோணத்திற்குச் சமம். (சூத். 29) மேலும் EF, CD என்னுஞ் சமதூர நேர்கோடுகளை, GHK ஊடறுத்துச் செல்வதால், GHF என்னும் வெளிக்கோணம், HKD என்னும் உட்கோணத்துக்குச் சமம்; (சூத். 29) ஆனால் AGH என்னுங்கோணம், GHF என்னுங்கோணத்துக்குச் சமமென்று காடினோமேல் ஆகையால், AGH என்னுங்கோணம், GKD என்னுங்கோணத்துக்குச் சமம்; இவைகள் மாறுகோணங்கள்; ஆதலால் AB என்னும் நேர்கோடு CDக்குச் சமதூரமுள்ளது. (சூத். 27) ஆகவே ஒரு நேர்கோட்டுக்குச் சமதூரமான், &c. இ. ரூ.

குறித்த நேர்கோட்டுக்குச் சமதூரமாக, குறித்த புள்ளியை யூடுருவ, ஒரு நேர்கோட்டை வரையும் வகை. A என்பது குறித்த புள்ளியாயும், BC குறித்த நேர்கோடாயுமிருக்கின்றனவென்று வைத்துக்கொள்வோம். A என்னும் புள்ளியை யூடுருவ BCக்குச் சமதூரமாக, ஒரு நேர்கோட்டை வரையவேண்டும். BC என்னும் நேர்கோட்டில், D என்னும் புள்ளியைத் தெரிந்து, AD யை இணை. AD என்னும் நேர்கோட்டின் A என்னும் புள்ளியில், ADC என்னுங் கோணத்துக்குச் சமமாக DAE என்னுங் கோணத்தை யுண்டாக்கி; (சூத். 23) EA என்னும் நேர்கோட்டை F என்னும் புள்ளிமட்டும் நீட்டு அப்போது EF என்னும் நேர்கோடு BCக்குச் சமதூரமாயிருக்கும். எப்படியெனில், EF, BC என்னும் நேர்கோடுகளை AD சந்திக்கிறதாலாகும் EAD என்னுங்கோணம், ADC என்னுங்கோணத்துக்குச் சமம், ஆகையால் EF என்னும்நேர்கோடு BCக்குச்சமதூரமுள்ளதே. (சூத். 27) ஆனதால் குறித்த A என்னும் புள்ளியை யூடுருவக்குறித்த BC என்னும் நேர்கோட்டுக்குச் சமதூரமாக, EAF என்னும் நேர்கோட்டை வரைந்தாயிற்று. இ. ரூ.

எந்த முக்கோணத்திலும் அதனோர் பக்கம் நீட்டப்படுவதால் உண்டாகும் வெளிக்கோணம் தனக்கெதிர்த்த உட்கோணங்களிரண்டுக்குஞ் சமமாம்; ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் மூன்று உட்கோணங்களுஞ் சேர்ந்து இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமமாம். ABC ஓர் முக்கோணமாயும், BC என்னும் அதனோர் பக்கம் D என்னும் புள்ளிமட்டும் நீட்டப்பட்டுமிருந்தால், அப்போது ACD என்னும் வெளிக்கோணம் தனக்கெதிர்த்த உட்கோணங்களாகிய CAB, ABC என்னும் இரண்டிற்குஞ் சமமாயும்: ABC, BCA, CAB என்னும் உட்கோணங்கள் மூன்றுஞ்சேர்ந்து இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமமாயுமிருக்கும். C என்னும் புள்ளியை யூடுருவ BAக்குச் சமதூரமாய் CE என்னும் நேர்கோட்டை வரை. (சூத். 31) CE என்னும் நேர்கோடு BAக்கு சமதூரமாயிருப்பதாலும், AC அவைகளைச் சந்திப்பதினாலும், ACE என்னுங்கோணம் BAC என்னுமாறுகோணத்துக்குச் சமம். (சூத். 29) மேலும், CE என்னும் நேர்கோடு ABக்குச் சமதூரமாயிருப்பதாலும், BD அவற்றின் மேல் விழுவதினாலும், ECD என்னும் வெளிக்கோணம் தனக்கெதிர்த்த உட்கோணமாகிய ABCக்குச் சமம்; (சூத். 29) ஆனால் ACE என்னுங்கோணம் BAC என்ற கோணத்துக்குச் சமமென்று ரூபித்தோமே; ஆதலின் ACD என்னும் வெளிக்கோணம் தனக்கெதிர்த்த உட்கோணங்களாகிய CAB, ABC என்னுமிரண்டிற்குச் சமம்; (பி. பி. 1) சமமான இவைகளொவ்வொன்றோடும் ACB என்னுங்கோணத்தைச் சேர்க்க, (பி. பி. 2) அப்போது ACD, ACB என்னுங்கோணங்கள் இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம், (சூத். 18) ஆகையால் CAB, ABC, ACB என்பவைகளும் இரண்டு செங்கோனங்களுக்குச் சமம். (பி.பி. 1) ஆதலின், எந்த முக்கோணத்திலும் அதனோர் பக்கம் நீட்டப்படுவதால், &c இ. ரூ. பலிதம். I. எந்த நேர்கோட்டு வடிவத்திலும், அதன் எல்லா உட்கோணங்களும் நாலு செங்கோணங்களுஞ் சேர்ந்து அவ்வடிவத்தின் பக்கங்களுக்கு இரட்டிப்பான செங்கோணங்களுக்குச் சமமாயிருக்கும். எப்படியெனில், A B C D E என்னும் நேர்கோட்டு வடிவத்தை, அதனுள் F என்னும் ஓர் புள்ளியிலிருந்து ஒவ்வொடு கோணத்துக்கும் நேர்கோடுகளை வரைவதினால், வடிவத்தின் பக்கங்கள்த்தனையான முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கலாம். முக்கோனத்தின் மூன்று உட்கோணங்களுஞ் சேர்ந்து இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமமாயிருப்பதாலும், வடிவத்தின் பக்கங்களத்தனையான முக்கோணங்களிப்பதாலும், இம்முக்கோனங்களின் கோணங்களெல்லாம், வடிவத்தின் பக்கங்களுக்கு இரட்டிப்பான செங்கோணங்களுக்குச் சமம்; ஆனால், இம்முக்கோணங்களின் கோணங்கள், வடிவத்தின் உட்கோணங்களும், F என்னும் புள்ளியிலுள்ள கோணங்களுஞ் சேர்ந்த தொகைக்குச் சமம்: முக்கோணங்கள் யாவுக்கும் பொது உச்சியாகிய F என்னும் புள்ளியிலுள்ள கோணங்கள் நாலு செங்கோணங்களுக்குச்சமம், (சூத். 15. பலிதம் 2.) ஆகையால் இம்முக்கோணங்களின் கோணங்கள், வடிவத்தின் உட்கோனங்களும் நாலு செங்கோணங்களுஞ் சேர்ந்த தொகைக்குச் சமம் ஆனால் முக்கோனங்களின் கோணங்களெல்லாம் வடிவத்தின் பக்கங்களுக்கு இரட்டிப்பான செங்கோணங்களுக்குச் சமமென்று ரூபித்தோமே; ஆதலின் வடிவத்தின் எல்லாக்கோணங்களும் நாலு செங்கோனஙகளுஞ் சேர்ந்து, வடிவத்தின் பக்கங்களுக்கு இரட்டிப்பான செங்கோணங்களுக்குச் சமம். பலிதம் II. எந்த நேர்கோட்டு வடிவத்திலும், அதன் பக்கங்களை ஒரே திசையாய் முறையே நீட்டுவதினால் உண்டாகும் வெளிக்கோணங்களெல்லாம் நாலு செங்கோணங்களுக்குச் சமமாம். எப்படியெனில், ABC என்னும் ஒவ்வொரு உட்கோணமும் தன் அயல் வெளிக்கோணமாகிய ABDயோடு சேர்ந்து, இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம், (சூத். 13.) ஆகையால் வடிவத்தின் எல்லா உட்கோனங்களும் அதின் வெளிக்கோணங்களுஞ் சேர்ந்து, வடிவத்தின் பக்கங்களுக்கு இரட்டிப்பான செங்கோனங்களுக்குச் சமம், ஆனால், முந்தின பலிதத்தில் எல்லா உட்கோணங்களும் நாலு செங்கோணங்களுஞ் சேர்ந்து வடிவத்தின் பக்கங்களுக்கு இரட்டிப்பான செங்கோணங்களுக்குச் சமமென்று ரூபித்திருக்கிறோம்; ஆதலால் எல்லா உட்கோனங்களும் எல்லா வெளிக்கோணங்களுஞ் சேர்ந்து எல்லா உட்கோனங்களுக்கும் நான்கு செங்கோணங்களுக்குஞ் சமம், (பி. பி. 1) சமமான இவைகளொவ்வொன்றிலுமிருந்து எல்லா உட்கோனங்களையும் நீக்க, வடிவத்தின் வெளிக்கோணங்களெல்லாம் நான்கு செங்கோணங்களுக்குச் சமம். (பி. பி. 3)

சமமும் சமதூரமுமான இரண்டு நேர்கோடுகளின் முனைகளை, ஒரே திசையாய் இணைக்கிற நேர்கோடுகளும் சமமும், சமதூரமுமாம். AB, CD என்பவை சமமும், சமதூரமுமான நேர்கோடுகளாயும், அவைகளின் முனைகளை AC, BD என்னும் நேர்கோடுகள் ஒரே திசையாய் இணைத்துமிருந்தால், அப்போது AC, BD என்னும் நேர்கோடுகள் சமமும், சமதூரமுமாயிருக்கும். B, C என்னும் புள்ளிகளை இணை. AB என்னும் நேர்கோடு CDக்குச் சமதூரமாயும், CB அவைகளைச் சந்தித்துமிருப்பதால், ABC என்னுங் கோணம், BCD என்னு மாறுகோணத்திற்குச் சமம்; (சூத். 29) AB என்னும் நேர்கோடு CDக்குச் சமமானதாலும், BC என்னும் நேர்கோடு ABC, DCB என்னும் இரண்டு முக்கோணங்களுக்கும் பொதுவானதாலும்; AB, BC என்னும் பக்கங்களிரண்டும் DC, CB என்னும் பக்கங்கள் இரண்டிற்கு முறையே சமம்; ABC என்னுங் கோணம் BCD என்னுங் கோணத்துக்குச் சமமென்று ரூபித்தோம். ஆகையால் AC என்னும் பாதவரி BD என்னும் பாதவரிக்குச் சமம், (சூத். 4) ABC என்னுமுக்கோணம் BCD என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமம், சமபக்கங்களுக்கெதிர்த்த மீதிக்கோணங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமம்; ஆதலால், ACB என்னுங்கோணம் CBD என்னுங்கோணத்துக்குச் சமம், மேலும் AC, BD என்னும் நேர்கோடுகளை BC சந்திப்பதினாலாகும். ACB, CBD என்னுமாறுகோணங்களொன்றுக்கொன்று சமமாதலால்; AC என்னும் நேர்கோடு BDக்குச் சமதூரமாம்; (சூத். 27) AC என்னும் நேர்கோடு BDக்குச் சமமென்று மேலே ரூபித்தோம். ஆகையால் சமமும் சமதூரமுமான இரண்டு நேர்கோடுகளின் முனைகளை, &c. இ. ரூ.

சமதூர நேர்கோட்டு வடிவங்களின் எதிர்த்த பக்கங்களுஞ் கோணங்களும் ஒன்றுக்கொன்று முறையேசமமாம். அததின் விட்டம் அததை இரு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கும். ACDB ஒரு சமதூர நேர்கோட்டு வடிவமாயும், BC அதின் விட்டமாயுமிருந்தால், அப்போது அவ்வடிவத்தின் எதிர்த்த பக்கங்களும் கோணங்களுமொன்றுக்கொன்று முறையே சமமாயிருக்கும்; BC என்னும் விட்டம் அதை இரு சமபாகங்களாக்கும். AB என்னும் நேர்கோடு CDக்குச் சமதூரமாயிருப்பதாலும், BC அவைகலைச் சந்திப்பதாலும், ABC என்னுங்கோணம் BCD என்னு மாறுகோணத்துக்குச் சமம். (சூத். 29) மேலும் AC என்னும் நேர்கோடு BDக்குச் சமதூரமாயிருப்பதாலும் BC அவைகளைச் சந்திப்பதாலும், ACB என்னுங் கோணம் CBD என்னு மாறுகோணத்துக்குச் சமம். (சூத். 29) ஆகையால் ABC, CBD என்ற இரண்டு முக்கோணங்களில், ABC, BCA என்னும் ஒன்றின் இரண்டு கோணங்கள் BCD, CBD என்னும் மற்றதின் இரண்டு கோணங்களுக்கு முறையே சமமாயும் அச்ச்சமகோணங்களுக்கு அடுத்த பக்கமாகிய BC இரண்டு முக்கோணங்களுக்கும் பொதுவாயுமிருப்பதால்; மீதிப் பக்கங்கள் முறையே சமமாயும், ஒன்றின் மூன்றாம் கோணம் மற்றதின் மூன்றாம் கோணத்துக்குச் சமமாயுமிருக்கும்; (சூத். 26) அதாவது AB என்னும் பக்கம் CD என்னும் பக்கத்துக்கும், AC என்னுங்கோணம் BDC என்னுங்கோணத்திற்கும் சமமாயிருக்கும். மேலும் ABC என்னுங்கோணம் BCD என்னுங் கோணத்திற்கும், CBD என்னுங் கோணம் ACB என்னுங்கோணத்திற்கும் சமமாகையால், ABD என்னு முழுக்கோணம் ACD என்னு முழுக்கோணத்துக்குச் சமம் (பி. பி. 2). BAC என்னுங் கோணம் BDC என்னுங் கோணத்துக்குச் சமமென்று ரூபித்தோம். ஆகையால் ஒரு சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தின் எதிர்த்த பக்கங்களும் கோணங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமமே. இதுநிற்க, BC இதை இருசம பாகங்களாக்கும். எப்படியெனில், AB என்னும் நேர்கோடு CDக்கு சமமாயும், BC பொதுவாயுமிருப்பதினாலே, AB, BC என்னும் இரண்டு பக்கங்கள் DC, CB என்னும் இரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமம்; ABC என்னுங் கோணம் BCD என்னுங் கோணத்துக்குச் சமமென்று ரூபித்தோம்; ஆகையால் ABC என்னு முக்கோணம் BCD என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமம்; (சூத். 4) ஆகவே BC என்னும் விட்டம் ACDB என்னுஞ் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தை இரு சம பாகங்களாகப் பிரிக்கின்றது. &c. இ. ரூ.

ஒரே பாதவரியிலும், ஒரே சமதூரக்கோடுகளுக் கூடேயும் வரையப்பட்டிருக்கும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாம். BC என்னும் ஒரே பாதவரியிலும் AF, BC என்னும் ஒரே சமதூரக்கோடுகளுக்கு ஊடேயும், ABCD, EBCF என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவங்கள் வரைப்பட்டிருந்தால், அப்போது ABCD என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் EBCF என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்துக்குச் சமமாயிருக்கும். ABCD, DBCF என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவங்களில், BC என்னும் பாதவரிக்கெதிர்த்த AD, DF என்னும் பக்கங்கள் D என்னும் ஒரே மூனையில் முடிந்தால்: அப்போது ஒவ்வொரு சமதூர நேர்கோட்டு வடிவமும் BDC என்னு முக்கோணத்திற்கு இரட்டிப்பென்பது தெளிவாயிருக்கிறது; (சூத். 34.) ஆகையால் ABCD என்னுஞ் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் DBCF என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்துக்குச் சமம் (பி. பி. 6) ஆனால் BC என்னும் பாதவரிக்கெதிர்த்த பக்கங்களாகிய AD, EF ஒரே முனையில் முடியாவிட்டால்; அப்போது ABCD என்பது சமதூர நேர்கோட்டு வடிவமாதலால் AD என்னும் பக்கம் BCக்குச் சமம்; (சூத். 34) இம்முகாந்தரமாகவே EF என்னும் பக்கம் BCக்குச் சமம். ஆகையால் AD என்னும் பக்கம் EFக்குச் சமம். (பி.பி 1) DE என்னும் பாகம் பொது. ஆகையால் முழுமை அல்லது மீதியாகிய AE, முழுமை அல்லது மீதியாகிய DFக்குச் சமம். (பி.பி 2 அல்லது 3) மேலும் AB என்னும் பக்கம் DCக்குச் சமம். (சூத். 34) ஆகையால் EAB, FDC என்னு முக்கோணங்களில், FD, EAக்கும்; DC, ABக்கும் சமம்; FDC என்னும் வெளிக்கோணம் EAB என்னும் தனக்கெதிர்த்த உட்கோணத்துக்குச் சமம்; (சூத். 29) ஆகையால் FC என்னும் பாதவரி EB என்னும் பாதவரிக்கும்; (சூத். ) FDC என்னு முக்கோணம் EAB என்னு முக்கோணத்துக்கும் சமம். ABCF என்னும் விஷம் சதுரத்தில் FDC என்னு முக்கோணத்தையும், அவ்விஷம சதுரத்தில்த் தானே EAB என்னு முக்கோணத்தையும் நீக்க மீதிகள் ஒன்றுக்கொன்று சமம் (பி பி 3) ஆகையால் ABCD என்னுஞ் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் EBCF என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்துக்குச் சமம். ஆகையால் ஒரே பாதவரியிலும், &c. இ. ரூ.

சமமான பாதவரிகளிலும், ஒரே சமதூர நேர்கோடுகளுக்கூடேயும், வரையப்பட்டிருக்கும் சமதூரநேர்கோட்டு வடிவங்களொன்றுக்கொன்று சமமாம். BC, FG என்னுஞ் சமமான பாதவரிகளிலும், AH, BG என்னும் ஒரே சமதூர நேர்கோடுகளுக்கூடேயும் ABCD, EFGH என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவங்கள் வரையப்பட்டிருந்தால், அப்போது ABCD என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் EFGH என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்துக்குச் சமமாயிருக்கும். BE, CH என்பவைகளை இணை; அப்போது BC, FGக்கும் (சாத்தியம்); FG, EHக்கும் (சூத். 34) சமம்; ஆகையால் BC, EHக்குச் சமம்; (பி. பி. 1) மேலும் இவைகள் சமதூர நேர்கோடுகளாயும், ஒரே திசையில் BE, CH என்னும் நேர்கோடுகளாலிணைக்கப்பட்டவைகளாயுமிருக்கின்றன. ஆனால் சமமும் சமதூரமுமான நேர்கோடுகளை ஒரே திசையில் இணைக்கும் நேர்கோடுகளும் சமமும் சமதூரமுமாம்; (சூத். 33) ஆகையால் BE, CH என்னும் நேர்கோடுகள் சமமும் சமதூரமுமாயிருக்கின்றன; ஆகவே EBCH என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம்; (இல. 1) ABCD, EBCH சமதூர நேர்கோட்டு வடிவங்கள் BC என்னும் ஒரே பாதவரியிலும் BC, AH என்னும் ஒரே சமதூர நேர்கோடுகளுக்கூடேயும் வரையப்பட்டிருக்கின்றன; ஆகையால் ABCD என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் EBCH என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்துக்குச் சமம். (சூத். 35) இக்காரணத்தினாலேயே EFGH என்னுஞ் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் EBCH என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்துக்குச் சமம். ஆகையால் ABCD என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் EFGH என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்துக்குச் சமம். ஆகையால் சமமான பாதவரிகளிலும், &c. இ. ரூ.

ஒரே பாதவரியிலும், ஒரே சமதூரக் கோடுகளுக்கு ஊடேயும் வரையப்பட்டிருக்கும் முக்கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாம். BC என்னும் ஒரே பாதவரியிலும், AD, BC என்னும் ஒரே சமதூரக்கோடுகளுக்கு ஊடேயும், ABC, DBC என்னு முக்கோணங்கள் வரையப்பட்டிருந்தால் அப்போது ABC என்னு முக்கோணம் DBC என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமமாயிருக்கும். AD என்னும் நேர்கோட்டை இருபக்கமும் E, F என்னும் புள்ளிகள் மட்டும் நீட்டு; B என்னும் புள்ளியை யூடுருவ CAக்குச் சமதூரமாய் BEயை வரை; (சூத். 31) C என்னும் புள்ளியை யூடுருவ BDக்குச் சமதூரமாய் CFஐவரை அப்போது EBCA, DBCF ஒவ்வொன்றும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவமாம். BC என்னும் ஒரே பாதவரியிலும், BC, EF என்னும் ஒரே சமதூரக்கோடுகளுக்கூடேயும், EBCA, DBCF என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவங்கள் இருப்பதால், அவைகள் ஒன்றுக்கொன்று சமம்; (சூத். 35) மேலும், EBCA என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தை AB என்னும் விட்டம் இரு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கிறதால், ABC என்னுமுக்கோணம் EBCA என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தில் பாதி; (சூத். 34) மேலும், DBCF என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தை DC என்னும் விட்டம் இருசமபாகங்களாகப் பிரிக்கிறதால், DBC என்னுமுக்கோணம் DBCF என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தில் பாதி; ஆனால் சமமானவைகளின் பாதிகள் ஒன்றுக்கொன்று சமம்; (பி. பி. 7) ஆகையால் ABC என்னுமுக்கோணம் DBC என்னுமுக்கோணத்துக்குச் சமம். ஆகவே ஒரே பாதவரியிலும் ஒரே சமதூரக்கோடுகளுகூடேயும், &c. இ. ரூ.

சமமான பாதவரிகளிலும், ஒரே சமதூரக்கோடுகளுக்கூடேயும், வரையப்பட்டிருக்கு முக்கோணங்களொன்றுக்கொன்று சமமாம். BC, EF என்னும் சமமான பாதவரிகளிலும், BF, AD என்னும் ஒரே சமதூரக்கோடுகளுக்கூடேயும், ABC, DEF என்னு முக்கோணங்கள் வரையப்பட்டிருந்தால், அப்போது ABC என்னுமுக்கோணம் DEF என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமமாயிருக்கும். ADயை இருபக்கமும் G, H என்னும் புள்ளிகள் மட்டும் நீட்டு; B என்னும் புள்ளியை யூடுருவ CAக்குச் சமதூரமாய் BGயை வரை; (சூத். 31) F என்னும் புள்ளியை யூடுருவ EDக்குச் சமதூரமாய் FHஐ வரை. அப்போது GBCA, DEFH என்னும் வடிவங்களொவ்வொன்றும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவமாம்; அவைகள் ஒன்றுக்கொன்று சமம், (சூத். 86) ஏனென்றால், அவைகள் BC, EF என்னுஞ் சமமான பாதவரிகளிலும், BF, GH என்னும் ஒரே சமதூரக் கோடுகளுக்கூடேயும் வரையப்பட்டிருக்கின்றன. மேலும், GBCH என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தை AB என்னும் விட்டம் இரு சம பாகங்களாகப் பிரிக்கிறதால், ABC என்னுமுக்கோணம் GBCA என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்திற் பாதி; அவ்வாறே DEFH என்னுஞ் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தை DF என்னும் விட்டம் இருசம பாகங்களாகப் பிரிக்கிறதால், DEF என்னுமுக்கோணம் DEFH என்னுஞ் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்திற் பாதி; ஆனால் சமமானவைகளின் பாதிகளானவையொன்றுக்கொன்று சமம்; (பி. பி. 7) ஆகையால் ABC என்னு முக்கோணம் DEF என்னுமுக்கோணத்துக்குச் சமம். ஆகவே சமமான பாதவரிகளிலும், &c. இ. ரூ.

ஒரே பாதவரியிலும், அதின் ஒரே பக்கத்திலும் வரையப்படிருக்கும் சமமான முக்கோணங்கள், ஒரே சமதூர நேர்கோடுகளுக்கூடேயிருக்கும். BC என்னும் ஒரே பாதவரியிலும், அதின் ஒரே பக்கத்திலும் ABC, DBC என்னும் சமமுக்கோணங்கள் வரையப்பட்டிருந்தால், அப்போது ABC, DBC என்னு முக்கோணங்கள் சமதூர நேர்கோடுகளுக்கூடேயிருக்கும். ADயை இணை; அப்போது AD, BCக்குச் சமதூரமாயிருக்கும். அப்படியிராவிட்டால், A என்னும் புள்ளியை யூடுருவ BCக்குச் சமதூரமாய் AEயை வரை, (சூத். 31) AE, BDயை E என்னும் புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்; ECயை இணை. அப்போது ABC என்னு முக்கோணம் EBC என்னு முக்கோணமும், BC என்னும் ஒரே யடிவாரத்திலும், BC, AE என்னும் ஒரே சமதூரக்கோடுகளுக்கூடேயும் வரையப்பட்டிருப்பதால், அவைகளொன்றுக்கொன்று சமம்; (சூத். 37) ஆனால் ABC என்னு முக்கோணம் DBC என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமம்; (சாத்தியம்) ஆகைஉயால் DBC என்னு முக்கோணம் EBC என்னுமுக்கோணத்துக்குச் சமம்; பெரிது சிறிதுக்குச் சமமாவது அசாத்தியம்: ஆகையால் AE, BCக்குச் சமதூரமல்ல. இவ்விதமாகவே BCக்கு ADயைத் தவிர வேறெந்த நேர்கோடும் சமதூரமாய் இருக்கக் கூடாதென்று ரூபிக்கலாம். ஆகையால் AD, BCக்குச் சமதூரமுள்ளது. ஆகவே ஒரே பாதவரியிலும், &c. இ. ரூ.

ஒரே நேர்கோட்டிலுள்ள சமமான பாதவரிகளிலும், அதின் ஒரே பக்கத்திலும் வரையப்பட்டிருக்கும் சமமான முக்கோணங்கள் ஒரே சமதூர நேர்கோடுகளுக்கூடேயிருக்கும். BF என்னும் ஒரே நேர்கோட்டிலுள்ள BC, EF என்னுஞ் சமமான பாதவரிகளிலும், அதின் ஒரே பக்கத்திலும், ABC, DEF என்னு முக்கோணங்கள் வரையப்பட்டிருந்தால், அப்போது அவைகள் ஒரே சமதூர நேர்கோடுகளுக்கூடேயிருக்கும் ADயை இணை; அப்போது AD, BFக்குச் சமதூரமாயிருக்கும். அப்படியிராவிட்டால் A என்னும் புள்ளியை யூடுருவ BFக்குச் சமதூரமாய் AGயை வரை; (சூத். 31) AG, EDயை G என்னும் புள்ளியிற் சந்திக்கட்டும்; GFஐயிணை. அப்போது ABC என்னு முக்கோண்ம் GEF என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமமாயிருக்கும்; (சூத். 38) ஏனென்றால் அவைகள் BC, EF என்னுஞ் சமமான பாதவரிகளிலும் BF, AG என்னும் ஒரே சமதூரக்கோடுகளுக்கூடேயும் வரையப்பட்டிருக்கின்றனர்; ஆனால் ABC என்னு முக்கோணம் DEF என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமம்; (சாத்தியம்.) ஆகையால் DEF என்னு முக்கோணம் GEF என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமம்; (பி.பி. 1) பெரிது சிறிதுக்குச் சமமாயிருப்பது அசாத்தியம்: ஆகையால் AG, BFக்குச் சமதூரமல்ல. இவ்விதமே AD தவிர வேறெந்தக் கோடும் அதற்குச் சமதூரமாய் இருக்ககூடாதென்று ரூபிக்கலாம்; ஆகையால் AD, BFக்குச் சமதூரமுள்ளது. ஆகவே ஒரே நேர் கோட்டிலுள்ள, &c. இ. ரூ.

ஒரே பாதவரியிலும், ஒரே சமதூரக்கோடுகளுக்கூடேயும், ஒரு சமதூர நேர்கோட்டு வடிவமும் ஒரு முக்கோணமும் வரையப்படுமாகில்; அச்சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் முக்கோணத்துக்கு இரட்டிப்பாயிருக்கும். BC என்னும் ஒரே பாதவரியிலும், BC, AE என்னும் ஒரே சமதூரக்கோடுகளுக்கூடேயும், ABCD என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவமும் EBC என்னு முக்கோணமும் வரையப்பட்டிருந்தால், அப்போது ABCD என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் EBC என்னு முக்கோணத்திற்கு இரட்டிப்பாயிருக்கும். AC யை இணை. அப்போது ABC என்னு முக்கோணம் EBC என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமம்; (சூத். 37) ஏனெனில் அவைகள் BC என்னும் ஒரே யடிவாரத்திலும், BC, AD என்னும் ஒரே சமதூரக்கோடுகளுக்கூடேயும் வரையப்பட்டிருக்கின்றன. ஆனால் ABCD என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தை AC என்னும் விட்டம் இரு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கிறதால், அது ABC என்னு முக்கோணத்திற்கு இரட்டிப்பு; (சூத். 34) ஆகையால் ABCD என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் EBC என்னும் முக்கோணத்திற்கு இரட்டிப்பு. ஆகவே ஒரே பாதவரியிலும், &c. இ. ரூ.

கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்துக்குச் சமமாயும், தன் கோணங்களிலொன்று கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டுக் கோணத்துக்குச் சமமாயுமிருக்கப்பட்ட ஓர் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தை வரையும் வகை. ABC கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம், D கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டுக் கோணம். கொடுக்கப்பட்ட ABC என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமமாயும், தன் கோணங்களிலொன்று D என்னு கோணத்துக்குச் சமமாயுமிருக்கப்பட்ட ஓர் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தை வரையவேண்டும். BCயை E என்னும் புள்ளியிலிரு சமபாகங்களாகப் பிரித்து, (சூத். 10) AEயை இணை; EC என்னும் நேர்கோட்டின் E என்னும் புள்ளியில், D என்னுங் கோணத்துக்குச் சமமாக CEF என்னும் கோணத்தை வரை; (சூத். 23) A என்னும் புள்ளியை யூடுருவ BCக்குச் சமதூரமாய் AFGயை வரை; (சூத். 31) அவ்வாறே C என்னும் புள்ளியை யூடுருவ EFக்குச் சமதூரமாய் CGயை வரை. அப்போது CEFG என்பது ஓர் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவமாயிருக்கும். (இல. A.) BE, EC என்னுஞ் சமமான பாதவரிகளிலும், BC, AG என்னும் ஒரே சமதூரக் கோடுகளுக்கூடேயும், ABE, AEC என்னும் முக்கோணங்கள் வரைப்பட்டிருப்பதினாலே; அவையொன்றுக்கொன்று சமம்; (சூத். 38) ஆகையால் ABC என்னு முக்கோணம் AEC என்னு முக்கோணத்துக்கு இரட்டிப்பு. ஆனால் FECG என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் AEC என்னு முக்கோணத்துக்கு இரட்டிப்பு. (சூத். 41) ஏனெனில், அவைகள் EC என்னும் ஒரே பாதவரியிலும், EC, AG என்னும் ஒரே சமதூரக்கோடுகளுக்கூடேயும் எழுப்பப்பட்டிருக்கின்றன; ஆகையால் FECG என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் ABC என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமம்; (பி. பி. 6) மேலும் அதன் ஒரு கோணமாகிய CEF, கொடுக்கப்பட்ட D என்னுங் கோணத்துக்குச் சமமாய்ச் செய்யப்பட்டது. ஆதலால் கொடுக்கப்பட்ட ABC என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமமாகவும், தன் கோணங்களில் ஒன்றாகிய CEF கொடுக்கப்பட்ட D என்னுங் கோணத்துக்குச் சமமாகவுமிருக்கப்பட்ட FECG என்னுஞ் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் வரையப்பட்டிருக்கிறது. இ. செ.

ஒரு சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தில் விட்டஞ் சென்றிருக்கும் சமதூர நேர் கோட்டு வடிவங்களின் சேஷங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாம். ABCD ஓர் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவமாயும், AC அதன் விட்டமாயும், EH, GF என்பவைகள் AC சென்றிருக்கும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவங்களாயும், BK, KD என்பவை ABCD என்னும் வடிவத்தை பூர்த்திபாக்குகிற சமதூர வடிவங்களாயுமிருக்கட்டும். ஆகையால் BK, KD என்றவைகளே சேஷங்கள். BK என்னுஞ் சேஷம் KD என்னுஞ் சேஷத்திற்குச் சமமாயிருக்கும். ABCD ஓர் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவமாயும், AC அதன் விட்டமாயுமிருப்பதால், ABC என்னு முக்கோணம் ADC என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமம். (சூத். 34) மேலும் EKHA என்பது ஓர் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவமாயும், AK அதின் விட்டமாயுமிருப்பதால், AEK என்னு முக்கோணம் AHK என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமம்; (சூத். 34) இம்முகாந்தரமே, KGC என்னு முக்கோணம் KFC என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமம். ஆகையால், AEK, KGC என்னும் முக்கோணங்கள் இரண்டும் AHK, KFC என்னு முக்கோணங்கள் இரண்டிற்குஞ் சமம்; (பி. பி. 2) ஆனால் ABC என்னு முழு முக்கோணம் ADC என்னு முழு முக்கோணத்துக்குச் சமம். ஆதலால் BK என்னுஞ் சேஷம் KD என்னும் சேஷத்துக்குச் சமம், (பி. பி. 3) ஆகவே ஒரு சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தில், &c. இ. ரூ.

கொடுக்கப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்துக்குச் சமமாயும், தன் கோணங்களிலொன்று கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டுக்கோணத்துக்குச் சமமாயுமிருக்கப்பட்ட ஒரு சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தை, கொடுக்கப்பட்ட ஓர் நேர் கோட்டோடு ஒட்டவைக்கும் வகை. AB கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடாயும், C கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணமாயும், D கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டுக் கோணமாயுமிருக்கட்டும். C என்னும் முக்கோணத்திற்கு சமமாயும், தன்கோணங்களிலொன்று D என்னும் கோணத்திற்குச் சமமாயுமிருக்கப்பட்ட ஒரு சமதூர நேர் கோட்டு வடிவத்தை AB என்னும் நேர் கோட்டோடு ஒட்டவைக்கவேண்டும். C என்னு முக்கோணத்திற்குச் சமமாயும், (சூத். 42) தன் கோணங்களிலொன்றாகிய EBG, D என்னும் கோணத்துக்குச் சமமாயும், BE என்னும் பக்கம் ABயோடு ஒரே நேர்கோடாயுமிருக்கப்பட்ட BEFG என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தை வரை; FGயை H வரையும் நீட்டு, A என்னும் புள்ளியை யூடுருவ BG அல்லது EFக்கு சமதூரமாய் AH என்னும் நேர்கோட்டை வரைந்து, (சூத். 31) HBயை இணை. HF என்னும் நேர்கோடு AH, EF என்னுஞ் சமதூர நேர்கோடுகளைச் சந்திப்பதினால், AHF. HFE என்னுங் கோணங்கள் இரண்டுஞ் சேர்ந்து இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம்; (சூத். 29) ஆகையால் BHF, HFE என்னும் கோணங்கள் இரண்டு செங்கோணங்களிற் சிறிது: ஒரு நேர்கோடு மற்ற இரண்டு நேர்கோடுகளின் மேல் விழ, ஒரே பக்கத்திலுண்டாகும் உட்கோணங்களிரண்டும் இரண்டு செங்கோணங்களிற் சிறிதானால், அவ்விரண்டு நேர்கோடுகளும் வேண்டிய அளவு நீட்டப்பட்டால் சந்திக்கும்: (பி. பி. 12) ஆகைஅயால் HB, FE என்பவைகளை நீட்டினால் சந்திக்கும்; அவைகள் நீட்டப்பட்டு K என்னும் புள்ளியில் சந்தித்திருக்கட்டும் K என்னும் புள்ளியை யூடுருவ EA அல்லது FHக்கு சமதூரமாய் KL என்னும் நேர்கோட்டை வரை, HA, GB என்னும் பக்கங்கள் KLஐ L, M என்னும் புள்ளிகளில் சந்திக்கும்படி நீட்டு. அப்போது HLKF என்பது ஒரு சமதூர நேர்கோட்டு வடிவமாயும் HK அதின் விட்டமாயும், AG, ME என்பவை HK என்னும் விட்டஞ் சென்றிருக்கும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவங்களாயும், LB, BF சேஷங்களாயுமிருக்கும்; ஆகையால் LB என்னுஞ் சேஷம் BF என்னுஞ் சேஷத்துக்குச் சமம்; (சூத். 43) ஆனால் BF என்னுஞ் சேஷம் C என்னும் முக்கோணத்துக்குச் சமம் (செய்கை.) ஆகையால் LB என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் C என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமம்; மேலும் GBE என்னுங் கோணம் ABM என்னுங் கோணத்துக்குச் சமம்; (சூத். 15) அப்படியே D என்னுங் கோணத்திற்குஞ் சமம்; (செய்கை.) ஆகையால் ABM என்னுங் கோணம் D என்னுங் கோணத்திற்குச் சமம், (பி. பி. 1) ஆதலால் C என்னு முக்கோணத்திற்குச் சமமாயும், ABM என்னும் கோணம் D என்னுங் கோணத்திற்குச் சமமாயுமிருக்கப்பட்ட LB என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தை, கொடுக்கப்பட்ட AB என்னும் நேர்கோட்டோடு ஒட்டவைத்திருக்கிறது. இ. செ.

கொடுக்கப்பட்ட ஒரு நேர்கோட்டு வடிவத்துக்குச் சமமாகவும், தன் கோணங்களிலொன்று கொடுக்கப்பட்ட ஓர் நேர்கோட்டுக் கோணத்துக்குச் சமமாகவுமிருக்கப்பட்ட ஒரு சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தை வரையும் வகை. ABCD கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டு வடிவம். E கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டுக் கோணம். ABCD என்னும் வடிவத்திற்குச் சமமாகவும், தன் கோணங்களிலொன்று E என்னுங் கோணத்திற்குச் சமமாயுமிருக்கப்பட்ட ஒரு சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தை வரையவேண்டும். DBயை இணை. ADB என்னு முக்கோணத்திற்குச் சமமாயும், தன் கோணங்களிலொன்றாகிய FKH, E என்னுங் கோணத்திற்குச் சமமாயுமிருக்கப்பட்ட FH என்னுஞ் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தை வரை, (சூத். 42) DBC என்னு முக்கோணத்திற்குச் சமமாயுமிருக்கப்பட்ட GM என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தை, GH என்னும் பக்கத்தோடு ஒட்டவை (சூத். 44) அப்பொழுது FKML என்னும் வடிவம், வரையவேண்டும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவமாயிருக்கும்; எப்படியெனில், E என்னும் கோணம் FKH, GHM என்னும் கோணங்களுக்கு தனித்தனியே சமம். ஆகையால் FKH என்னும் கோணம் GHM என்னும் கோனத்திற்குச் சமம்; இவைகளொவ்வொன்றோடும் KHG என்னும் கோணத்தைக் கூட்டு; அப்பொழுது FKH, KHG என்னும் கோணங்கள் KHG, GHM என்னும் கோணங்களுக்குச் சமம்; ஆனால் FKH, KHG என்னுங் கோனங்கள் இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம்; (சூத். 29) ஆகையால் KHG, GHM என்னும் கோணங்களும் இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம்; மேலும் GH என்னும் நேர்கோட்டின் H என்னும் புள்ளியில் அதின் எதிர்த்த பக்கங்களிலிருந்து KH, HM என்னும் நேர்கோடுகள் சந்தித்து உண்டாக்கும் அயல்கோணங்கள் இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமமானதால், HK, HM என்னும் நேர்கோடுகள் ஒரே நேர்கோடாம். (சூத். 14) மேலும் HG என்னும் நேர்கோடு KM, FG என்னும் சமதூர நேர்கோடுகளைச் சந்திப்பதால்; MHG என்னும் கோணம் HGF என்னும் மாறுகோணத்திற்குச் சமம்; (சூத் 29) சமமான இவைகளொவ்வொன்றோடும் HGL என்னும் கோணத்தைக் கூட்டு; அப்பொழுது MHG, HGL என்னும் கோணங்கள் HGF, HGL என்னும் கோணங்களுக்குச் சமம்; ஆனால் MHG, HGL என்னும் கோணங்கள் இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம்; (சூத். 29) ஆகையால் HGF, HGL என்னும் கோணங்களும் இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம்; ஆதலால் FG, GL என்னும் நேர்கோடுகள் ஒரே நேர் கோடாம். (சூத். 14) மேலும் KF, HGக்கும் HG, MLக்கும் சமதூரம், ஆகையால் KM, FLக்கு சமதூரமே. (சூத். 30) ஆனால் KM, FLக்குச் சமதூரமென்று ரூபித்தோம்; ஆகையால் FKML என்னும் வடிவம் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவமே. ABD என்னும் முக்கோணம் HF என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்திற்குச் சமமாயும்; அவ்வாறே BCD என்னு முக்கோணம் GM என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்திற்குச் சமமாயுமிருப்பதால்; ABCD என்னு முழு நேர்கோட்டு வடிவம் KFLM என்னும் முழுச் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்திற்குச் சமம்; ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட ABCD என்னும் நேர்கோட்டு வடிவத்திற்குச் சமமாயும், தன் கோணங்களிலொன்றாகிய FKM கொடுக்கப்பட்ட E என்னும் கோணத்திற்குச் சமமாயுமிருக்கப்பட்ட KFLM என்னுஞ் சமதூர நேர் கோட்டு வடிவம் வரையப்பட்டாயிற்று. இ. செ. பலிதம். கொடுக்கப்பட்ட ஓர் நேர் கோட்டுக் கோணத்துக்குச் சமமான ஓர் கோணத்தை உடைத்தானதாயும், கொடுக்கப்பட்ட ஒரு நேர் கோட்டு வடிவத்திற்குச் சமமானதாயுமிருக்கப்பட்ட ஒரு சமதூர நேர் கோட்டு வடிவத்தை, கொடுக்கப்பட்ட ஒரு நேர் கோட்டோடு ஒட்டும் வகை இச்சூத்திரத்தினால் தெளிய விளங்கும். எப்படியெனில், ABD என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமமாயும், கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டுக் கோணத்துக்குச் சமமான ஒரு கோணத்தையுடைத்தானதாயுமிருக்கப்பட்ட ஒரு சமதூர நேர்கோட்டு வடிவத்தை கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டோடு ஒட்டவைப்பதினாலே தான். (சூத். 44)

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் ஒருசற் சதுரத்தை வரையும் வகை AB கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு. AB யின் மீது ஒரு சற்சதுரத்தை வரையவேண்டும். A என்னும் புள்ளியிலிருந்து ABக்குச் செங்குத்தாக ACயை வரை; (சூத். 11) ABக்குச் சமமாக ADயை அறுத்து, (சூத். 3) D என்னும் புள்ளியை யூடுருவ ABக்குச் சமதூரமாய் DEயை வரை; (சூத். 31) அவ்வாறே Bயை யூடுருவ ADக்குச் சமதூரமாய் BEயை வரை; அப்பொழுது ABED ஒரு சமதூர நேர்கோட்டு வடிவமாம். ஆகையால் AB, DEக்கும் AD, BEக்கும் சமம்; (சூத். 34) ஆனால் BA, ADக்குச் சமம், ஆகையால் BA, AD, DE, EB என்னும் நான்கு கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று சமம்; ஆதலால் ADEB என்னும் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் சம பக்க வடிவமாம். மேலும் அதின் எல்லாக்கோணங்களும் செங்கோணங்களாயுமிருக்கின்றன, எப்படியெனில் AB, DE என்னும் சமதூர நேர் கோடுகளை AD சந்திப்பதால்; BAD, ADE என்னுங் கோணங்கள் இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம்; (சூத். 29) ஆனால் BAD செங்கோணம்; (செய்கை.) ஆகையால் ADE என்னுங் கோணமுங் செங்கோணமே. ஆனால் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவங்களின் எதிர்த்த கோணங்கள் சமம்; (சூத். 34) ஆகையால் ABE, BED ஆகிய எதிர்த்த கோணங்கள் ஒவ்வொன்றும் செங்கோணம்; ஆகையால் ADEB என்னும் வடிவம் சமகோண வடிவமாம்; அது சமபக்க வடிவமென்று மேலே ரூபித்தாயிற்று; ஆகையால் ADEB ஒரு சற்சதுரமே (இல. 30). அது AB என்னும் நேர்கோட்டின் மீது வரையப்பட்டிருக்கிறது. இ.செ. பலிதம். ஒரு செங்கோணத்தையுடைய சமதூர நேர்கோட்டு வடிவங்கள் ஒவ்வொன்றும் தன் கோணங்களெல்லாம் செங்கோணங்களாயிருக்கப்பெறும் என்று இச்சூத்திரத்தினால் விளங்கும்.

எந்தச் செங்கோண முக்கோணத்திலும், செங்கோணத்திற் கெதிரான பக்கத்தின் மீது வரையப்படுஞ் சற்சதுரமானது செங்கோனத்தை யடக்கியிருக்கும் பக்கங்களின் மீது வரையப்படும் சற்சதுரங்களுக்குச் சமமாம். ABC என்பது ஒரு முக்கோணம், அதில் BAC என்னும் கோணம் செங்கோணம். BC என்னும் பக்கத்தின் மீது வரையப்படுஞ் சற்சதுரம் BA, AC என்னும் பக்கங்களின் மீது வரையப்படுஞ் சற்சதுரங்களுக்குச் சமமாயிருக்கும். BCயின் மேல் BDEC என்னுஞ் சற்சதுரத்தை வரை; (சூத். 46) BA, AC என்றவைகளின் மீது GABF, HACK என்னுஞ் சற்சதுரங்களை வரை; A என்னும் புள்ளியை யூடுருவ BD அல்லது CEக்குச் சமதூரமாக ALஐ வரை; (சூத். 31) AD, FC என்பவைகளை யிணை. BAC ஒரு செங்கோணம்; (சாத்தியம்.) அப்படியே BAG ஒரு செங்கோணம்; (இல. 30) AB என்னும் வரியின் A என்னும் புள்ளியில் அதினெதிர்த்த பக்கங்களிலிருந்து AC, AG என்னும் நேர்கோடுகள் சந்திப்பதாலுண்டாகிற அயல் கோணங்கள் இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமமாதலால், CA, AG என்னும் நேர் கோடுகள் ஒரே நேர்கோடாம்: (சூத். 14) இம்முகாந்தரத்தினாலேயே BA, AH என்ப்வை ஒரே நேர் கோடாம். மேலும், DBC என்னுங் கோணம் FBA என்னுங் கோணத்துக்குச் சமம். ஏனெனிலவைகளொவ்வொன்றுஞ் செங்கோணம்; இச்சமமானவைகளோடு ABC என்னுங் கோணத்தைக் கூட்டு; அப்பொழுது DBA என்னு முழுக்கோணம் FBC என்னு முழுக்கோணத்துக்குச் சமம்; (பி. பி. 2) AB, BD என்னு மிரண்டு பக்கங்கள் FB, BC என்னு மிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமம்; அவைகளாலாகும் ABD என்னுங் கோணம் FBC என்னுங் கோணத்துக்குச் சமம்; ஆகையால் AD என்னும் FC என்னும் பாதவரிக்குச் சமம்; (சூத். 4) ABD என்னு முக்கோணம் FBC என்னு முக்கோணத்துக்குச் சமம்; BL என்னுஞ் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் ABD என்னு முக்கோணத்தினிரட்டிப்பு; (சூத். 41) ஏனெனிலவைகள் BD என்னும் ஒரே பாதவரியிலும், BD, AL என்னும் ஒரே சமதூரக்கோடுகளுக்கூடேயும் வரையப்பட்டிருக்கின்றன; அவ்விதமே GB என்னுஞ் சற்சதுரமும் FBC என்னு முக்கோணத்தினிரட்டிப்பு; ஏனெனிலவைகள் FB என்னும் ஒரே பாதவரியிலுஇம், FB, GC என்னும் ஒரே சமதூரக்கோடுகளுக்கூடேயும் வரையப்பட்டிருக்கின்றன; ஆனால் ஒரே பொருளினிரட்டிப்பானவைகளொன்றுக்கொன்று சமம், (பி. பி. 6) ஆகையால் BL என்னுஞ் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் GB என்னுஞ் சற்சதுரத்திற்குச் சமம். இவ்விதமாகவே AE, BK என்பவைகளை யிணைப்பதினால், CL என்னுஞ் சமதூர நேர்கோட்டு வடிவம் HC என்னுஞ் சற்சதுரத்திற்குச் சமமென்று ரூபிக்கலாம். ஆகையால் முழுமையாகிய BDEC என்னுஞ் சற்சதுரம் GB, HC என்னுஞ் சற்சதுரங்களுக்குச் சமம்; (பி. பி. 2) BDEC என்னுஞ் சற்சதுரம் BCயின் மீதும், GB, HC என்னுஞ் சற்சதுரங்கள் AB, AC என்பவைகளின் மீதும் வரையப்பட்டிருக்கின்றன. ஆகையால் BCயின் மீது வரையப்படும் சற்சதுரம் AB, AC என்றவைகளின் மீது வரையப்படும் சற்சதுரங்களுக்குச் சமம்; ஆகவே எந்தச் செங்கோண முக்கோணத்திலும், &c. இ. ரூ.

ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் ஒன்றின் மீது வரையப்படுஞ் சற்சதுரம், அதின் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் மீது வரையப்படுஞ் சற்சதுரங்களுக்குச் சமமானால், இந்தரண்டு பக்கங்களாலடங்கிய கோணஞ் செங்கோணமாயிருக்கும். ABC என்னு முக்கோணத்தின் பக்கங்களிலொன்றாகிய BCயின் மீது வரையப்படும் சற்சதுரம் AB, AC என்னு மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் மீது வரையப்படுஞ் சற்சதுரங்களுக்குச் சமமானால், அப்போது BAC என்னுங் கோனம் செங்கோணமாயிருக்கும். A என்னும் புள்ளியிலிருந்து ACக்குச் செங்குத்தாக ADயை வரை, (சூத்தி. 11) ADயை ABக்குச் சமமாக்கி, DCயை யிணை. அப்போது AD, ABக்குச் சமமாயிருப்பதால், ADயின் வர்க்கம் ABயின் வர்க்கத்துக்குச் சமம்; சமமான இவைகள் ஒவ்வொன்றோடும் ACயின் வர்க்கத்தைக் கூட்டு; அப்போது AD, AC என்பவைகளின் வர்க்கங்கள் AB, AC எனபவைகளின் வர்க்கங்களுக்குச் சமம்: ஆனால், AD, AC என்பவைகளின் வர்க்கங்கள் DCயின் வர்க்கத்துக்குச் சமம்; (சூத். 47) ஏனென்றால் DAC என்னுங் கோணஞ் செங்கோணம். (செய்கை.) BCயின் வர்க்கஞ் சாத்தியத்தின்படி BA, AC என்பவைகளின் வர்க்கங்களுக்குச் சமம்; ஆகையால் DCயின் வர்க்கம் BCயின் வர்க்கத்துக்குச் சமம்; ஆதலால் DC என்னும் பக்கம் BC என்னும் பக்கத்துக்குச் சமமாயும், AC என்னும் பக்கம் DAC, BAC என்னு மிரண்டு முக்கோணங்களுக்குப் பொதுவாயுமிருப்பதால், DA, AC என்னு மிரண்டு பக்கங்கள் BA, AC என்னு மிரண்டு பக்கங்களுக்கு முறையே சமம்; DC என்னும் பாதவரி BC என்னும் பாதவரிக்குச் சமமென்று ரூபித்தோம். ஆகையால் DAC என்னுங் கோனம் BAC என்னுங் கோணத்துக்குச் சமம்; (சூத். 8) ஆனால், DAC என்னுங் கோணம் செங்கோணம். ஆகையால் BACயும் செங்கோணமே. ஆகவே ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் ஒன்றின் மீது, &c. இ. ரூ. இயூக்ளிட்டென்பவரால் இயற்றப்பட்ட அளவுநூல், முதலாம் புத்தகம் முற்றிற்று.

Links to upcoming and past outreach events (including videos, slides and notes) may be found here. For any other queries, email us: outreach@imsc.res.in